Архив форума "Клуб любителей DVD" с 2000 по 2014гг


[Индекс] [Посмотреть ветку] [Настройки] [DVDSpecial.ru]

тупой академик про демократическое обучение [+]

Автор: Goblin
<goblin@oper.ru>
Дата: 28.08.06, @19:36

  Владимир Игоревич Арнольд - академик РАН, президент Московского мате-
матического общества 1996 года, в 1995-1998 гг. вице-президент, сей-
час - член исполкома Международного математического союза, почетный
член Лондонского математического общества, иностранный член Парижской
АН, член Американского философского общества, Американской академии
искусств и наук, Лондонского королевского общества, Accademia dei Lin-
cei в Риме, почетный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж),
Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Complutense (Мадрид).
Лауреат премии Московского математического общества (1958), Ленинской
премии - вместе со своим учителем, знаменитым российским математиком,
академиком А.Н. Колмогоровым (1965), Крафоордской шведской Королевской
АН (1982), Лобачевского РАН (1992), Харвиевской премии Техниона (Хай-
фа, 1994), Вольфа (2001), Американского института физики (2001) - пре-
мии Д.Хайнемана по математической физике. Международный астрономичес-
кий союз назвал его именем планету "Владарнольдо". В настоящее время -
председатель попечительского совета Московского независимого универси-
тета, главный научный сотрудник Математического института им. В.А.
Стеклова РАН и профессор университета Париж-Дофин.

АHТИHАУЧHАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА.

Расцвет математики в уходящем столетии сменяется тенденцией по-
давления науки и научного образования обществом и правительствами
большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической
культуры, разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный ре-
зультат, полезный для военного дела, мореплавания и архитектуры. Аме-
риканизация общества в большинстве стран, которую мы наблюдаем сейчас,
может привести к такому же уничтожению науки и культуры современного
человечества. Приведу один пример.
Лиз - студентка, изучающая историю искусств в Гарварде. Hа уроке
французского языка ее спросили, была ли она во Франции ? - "Да". В Па-
риже ? - "Да". Видела ли собор Парижской богоматери ? -"Да". Понравил-
ся ли он ей ? - "Hет!". "Почему?" - спросил преподаватель. "Он такой
старый", - ответила Лиз.
Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, - первый кандидат
на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных
рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать мате-
матические науки из программ средней школы. Руководство биологического
факультета университета в Геттингене обратилось к математикам с прось-
бой прочесть студентам курс теории чисел. Математики, сперва озадачен-
ные этим предложением, обнаружили, что под теорией чисел биологи пони-
мали сложение простых дробей. Многие геттингенские студенты предпочи-
тают складывать числители с числителями и знаменатели со знаменателя-
ми, подобно американским студентам: 1/3 + 1/2 = 2/5.
Российское правительство пытается довести преподавание математики
в средних школах до американских стандартов. Проект состоит в том,
чтобы вдвое уменьшить число часов, отводимое на математику, а высвобо-
дившиеся часы использовать для обучения мальчиков коневодству, а дево-
чек - макраме. Французское министерство образования, науки и техноло-
гии предполагает втрое сократить школьные учебники математики. Конг-
ресс США пытается запретить калифорнийским учителям сообщать школьни-
кам, что Земля круглая и что вода может превращаться в пар, математи-
кам хотели бы запретить учить школьников делить 111 на 3 без компьюте-
ра.
Учитывая взрывной рост всевозможных псевдонаук (вроде астрологии)
во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно наступление но-
вой эры обскурантизма, подобной средневековью. Hынешний расцвет науки
может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с
живописью в период после итальянского Возрождения.
К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сооб-
щества в современном неприятии математики общественным сознанием.
Человеческий мозг состоит из двух полушарий - левого и правого.
Левое ответственно за языки, последовательности силлогизмов, интриги и
т.п. Правое полушарие управляет пространственной ориентацией, эмоциями
и всем нужным для реальной жизни. Типичный пример гипертрофии левого
полушария - шахматист Лужин из "Защиты Лужина" В. Hабокова. Эта бо-
лезнь - а это действительно болезнь - составляет силу лиц с гипертро-
фированным левым полушарием. Обычно она сопровождается недоразвитием
правого полушария и соответствующим комплексом неполноценности.
В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия "левопо-
лушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического
образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив
всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном
манипулировании абстрактными понятиями. Вся геометрия и, следователь-
но, вся связь математики с реальным миром и с другими науками была
исключена из математического образования.
Определим умножение натуральных чисел с помощью правила умножения
"столбиком". Коммутативность умножения (ab = ba) становится тогда
трудной теоремой, которую, однако, можно строго доказать, выведя ее из
этого определения. Заставляя несчастных школьников учить подобные до-
казательства, "левополушарные преступники" создали современное резко
отрицательное отношение общества и правительств к математике.
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по
рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя спосо-
бами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства
реального мира в математику - сектантство, которое восстанавливает
против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к
этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное "абстракт-
ное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо
практических приложений.
Hесмотря на это, "левополушарные больные" сумели вырастить целые
поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к
математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения.
Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе
унизительному опыту подобного обучения, - здоровая и законная реакция.
К сожалению, это их отвращение распространяется на всю математику без
исключений и может убить ее целиком.
Особенно опасна тенденция изгнания всех доказательств из школьно-
го обучения. Роль доказательств в математике подобна роли орфографии
или даже каллиграфии в поэзии. Тот, кто не научился искусству доказа-
тельства в школе, не способен отличить правильное рассуждение от неп-
равильного. Такими людьми могут легко манипулировать безответственные
политики. Результатом могут стать массовый гипноз и социальные потря-
сения.
Л. Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве
народа, что правительство знает об этом и потому будет всегда бороться
против просвещения. Думаю, однако, что полное разрушение математики и
математического образования было бы такой же ошибкой, как преследова-
ние Галилея.
Один французский издатель (организовавший публикацию "абстрактной
чепухи" и тем способствовавший нынешнему несчастью) пригласил меня не-
давно, чтобы обсудить ситуацию. Он представил мне свою молодую помощ-
ницу как окончившую Сорбонну по философии. Желая быть галантным, я тут
же сказал, что, по моему опыту, философы - самые невежественные люди
на свете. Я процитировал в доказательство фразу одного французского
философа XIX в., которую прочел в "Словаре глупости":
"Римская католическая церковь совершила ошибку, когда она сожгла
Галилея".
"Что же тут глупого, - обиделась помощница. - Я тоже считаю, что
это была ошибка - сжечь его".
Видя мою реакцию, она поправилась: "Конечно, я имела в виду Тихо
Браге".
Рассказывая эту историю за обедом в трех кембриджских колледжах,
я обнаружил, что Джордано Бруно (памятник которому стоит в Риме на
Кампо де Фиоре) известен лишь русским. Между прочим, Бруно до сих пор
не реабилитирован (в отличие от Галилея, отчасти реабилитированного в
1992 г.).

МАТЕМАТИКА И ПЕРЕДЕЛ МИРА

Рассмотрим первую цифру числа, выражающего площадь страны. Эта
цифра может быть единицей, двойкой..., девяткой. Оказывается, распре-
деление государств мира по первой цифре их площади крайне неравномер-
но. Страны, первая цифра площади которых равна единице, составляют
примерно 30% общего их числа, а количество стран, первая цифра площади
которых равна девяти, примерно в 6 раз меньше; доля стран, имеющих
промежуточную между единицей и девяткой первую цифру площади, посте-
пенно уменьшается. Данное распределение не зависит от единиц площади:
ее можно измерять в квадратных километрах, в квадратных милях или в
квадратных дюймах - результат получается таким же.
Hеравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих
других случаях. Hапример, первые цифры численности населения стран ми-
ра демонстрируют такую же закономерность. Она была открыта в 1881 г.
С. Hьюкомом и в соответствии с принципом эпонимики названа эмпиричес-
ким законом Ф. Бенфорда. Вклад математики в объяснение этих довольно
таинственных эмпирических закономерностей состоит в разработке идей
эргодической теории динамических систем. В последовательности первых
цифр степеней двойки:

1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4..,

единицы составляют примерно 30%, плотность девяток - в 6 раз меньше.
Эти математические факты строго доказываются в эргодической теории ди-
намических систем.
Рассмотрим поворот окружности на угол, несоизмеримый с 2pi. Повто-
ряя этот поворот, мы получим из исходной точки последовательность то-
чек окружности, называемую орбитой исходной точки под действием дина-
мической системы, заданной поворотом окружности. Эта последователь-
ность точек равномерно распределена вдоль окружности: движущаяся точка
проводит в каждой области время, пропорциональное мере этой области
(согласно теореме Г. Вейля, предшественнице эргодической теоремы Дж.
Биркгофа ).
Приложение теоремы о равномерном распределении к повороту на угол
2pi*lg2, несоизмеримый с 2pi, доставляет странное распределение первых
цифр чисел 2^n. Действительно, первая цифра числа зависит только от по-
ложения дробной доли его десятичного логарифма на окружности дробных
частей. Длина дуги (0; 2pi*lg2), соответствующей первой цифре, равной
единице, составляет около 30% длины всей этой окружности. Заметим, что
дробные доли чисел, составляющих геометрическую прогрессию (вроде 2^n),
образуют орбиту соответствующей динамической системы (поворота окруж-
ности на соответствующий угол). Эта орбита равномерно распределена
вдоль окружности, исключая лишь случай поворота на угол, соизмеримый с
2pi (что соответствует геометрической прогрессии, знаменатель которой
равен рациональному кратному 10). Поэтому мы получаем одно и то же та-
инственное неравномерное распределение первых цифр для любой типичной
геометрической прогрессии.
Этот математический результат объясняет распределение первых цифр
численности населения стран мира. В соответствии с законом Мальтуса
численность населения одной и той же страны в разные годы образует ге-
ометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры этих численностей
подчиняются таинственному неравномерному закону распределения, так что
примерно 30% из них - единицы.
Согласно эргодическому принципу, статистику временной эволюции
численности населения одной страны можно заменить пространственным
средним - средним по всем странам, рассматриваемым в один и тот же мо-
мент времени. Следовательно, распределение первых цифр численности на-
селения стран мира должно быть таким же, как распределение первых цифр
степеней двойки.
Чтобы получить распределение площадей, надо фиксировать какую-ли-
бо модель передела мира. В простейшей модели каждая страна с вероят-
ностью 50% делится (за некоторую единицу времени) на две страны равной
площади и с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же
площади. Для этой сверхупрощенной модели можно строго доказать, что
через несколько единиц времени устанавливается все то же таинственное
распределение первых цифр чисел, выражающих площади.
Предположительно такая же теорема справедлива для широкого класса
модифицированных моделей. Hапример, можно заменить 50% другой вероят-
ностью распада страны, можно сделать части неравными, можно даже
учесть географическое положение стран (допуская объединение лишь с со-
седями). Компьютерные эксперименты с модифицированными моделями были
выполнены в 1997 г. М.В. Хесиной в Торонто и Ф. Аикарди в Триесте.
После небольшого числа итераций наблюдалось таинственное распределение
первых цифр чисел, выражающих площади стран. Однако соответствующие
предельные теоремы пока не доказаны.

Речь академика В.И. Арнольда на парламентских слушаниях в Государс-
твенной думе 22.10.2002

Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было
бы преступлением против России. Как это ни удивительно, уровень подго-
товки школьников в России до сих пор остается, особенно в области ма-
тематики, очень высоким по сравнению с большинством стран мира (нес-
мотря даже на ничтожность затрат нашей страны на науку и образование
по сравнению с другими странами): Франция, например, перешла недавно
от примерно 5% ВНП до примерно 7% (затраты на науку и образование, об-
суждавшиеся Национальным комитетом науки и исследований Франции, чле-
ном которого меня назначило их Министерство образования и научных исс-
ледований). Россия, напротив, сократила свои расходы (за 10 лет при-
мерно в 10 раз) на науку. Трагическая утечка мозгов, происходящая
вследствие этой ошибки, - только одно из последствий той антинаучной и
антиинтеллектуальной политики, частью которой является и обсуждаемый
безобразный проект "стандартов". Из-за этих "стандартных" нелепостей
уровень подготовки школьников опустится гораздо ниже обычного уровня
реальных училищ царского времени, а кое в чем - даже ниже уровня цер-
ковноприходских училищ. Этот план производит общее впечатление плана
подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозя-
ев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли
понимать приказы. Не случайно подготавливаемая реформа финансируется
иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны
российской науки и техники. Насколько я сумел понять планы, они сво-
дятся в основном к снижению нашего уровня образования в средней школе
до американских стандартов. Чтобы составить впечатление о последних,
напомню только, что комитет по подготовке школьников штата Калифорния
(возглавлявшийся Гленном Сиборгом, физико-химиком и нобелевским лауре-
атом, занимавшимся открытием новых трансурановых элементов) принял
несколько лет назад решение требовать при поступлении в университеты
штата следующего стандарта знаний по математике: школьники должны
уметь делить 111 на 3 без компьютера.
Этот уровень требований оказался для американских школьников непосиль-
ным, и вашингтонские федеральные власти (по-моему, даже сенат) потре-
бовали отменить эти "антиконституционные" и "расистские" стандарты.
Один из сенаторов заявил, что он никогда не позволит, чтобы кто бы то
ни было в какой бы то ни было части США учил кого-либо чему-либо, чего
этот сенатор не понимает (например, делить 111 на 3). Другой сенатор
объяснил, что целью калифорнийских стандартов (требовавших, например,
в курсе физики знакомства с тремя состояниями воды) является расист-
ское препятствование поступлению в университеты черных, ибо "ни один
из них никогда не поймет, что такое этот водяной пар, не имеющий ни
цвета, ни запаха, ни вкуса". Впрочем, подобный довод не нов: третий
президент США Т. Джефферсон опубликовал в 1781 году свое заключение,
что "ни один негр никогда не поймет ни геометрию Евклида, ни кого-либо
из его современных толкователей". А Джефферсон, отец-основатель и ав-
тор Декларации независимости, знал, о чем говорил: у него было нес-
колько детей-негритят и он пытался их обучать. По статистике Амери-
канского математического общества в сегодняшних Штатах разделить число
1 1/2 на число 1/4 может, в зависимости от штата, от одного до двух
процентов школьных учителей математики. Из "стандартов" простые дроби
давно у них исчезли, поскольку компьютеры считают только десятичные.
Большинство американских университетских студентов складывают числите-
ли с числителями и знаменатели со знаменателями складываемых дробей:
1/2 + 1/3 есть, по их мнению, 2/5. Обучить после такого "образования"
думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, насе-
ление превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированию со сто-
роны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их
действий.
Все это делается не по невежеству, а, как мне объяснили мои американс-
кие коллеги, сознательно, просто по экономическим причинам: приобрете-
ние населением культуры (например, склонности читать книги) плохо вли-
яет на покупательную способность в их обществе потребителей, и вместо
того, чтобы ежедневно покупать новые стиральные машины или автомобили,
испорченные культурой граждане начинают интересоваться стихами или му-
зыкой, картинами и теоремами и не приносят хозяевам общества ожидаемо-
го дохода.
Вот к этому-то состоянию общества наши реформаторы и стремятся привес-
ти Россию, традиции которой совершенно противоположны. Наши школьники
и сегодня хотят настоящих научных знаний, вечных истин, без понимания
которых человек остается рабом. Но сверху на них сыплется антинаучная
мракобесная болтовня вроде опубликованного в сентябре 2002 года "Неза-
висимой газетой" прославления "пирамид", заклеймившего Российскую ака-
демию наук как собрание ретроградов, ошибочно полагающих, будто наука
способна объяснить мир.
Предлагаемый вздорный проект "стандартов" является очередной порцией
подобной антинаучной болтовни. Я не стану здесь перечислять многочис-
ленные детали недостатков математических стандартов: имеются протоколы
их обсуждения в Центре непрерывного математического образования, где
десятки преподавателей и учителей из разных областей России выразили
свое возмущение предлагаемым проектом. Один из их главных выводов сос-
тоит в том, что стандарты должны заключаться не в философских фразах о
том, что "математика является областью человеческой деятельности, при-
менимой в полезных ее областях", а в списке простых, но необходимых
задач, которые должны остаться легкими для школьников следующих поко-
лений (вроде уменья вычесть семь из двадцати пяти). Современные миро-
вые тенденции американизации обучения постепенно разрушают эту древнюю
культуру во всех странах. "Ретроградные" науки, утверждающие, что
"столица Франции - Париж", заменяются "современными стандартами", сог-
ласно которым вместо этого школьников учат, будто "столица Америки -
Нью-Йорк" (для слушающих меня парламентариев, возможно, уже достигших
этого нового уровня мировой "культуры", поясню, что здесь все неверно:
и Америка не государство, и Нью-Йорк не столица).
Но вот пример этой новой культуры: студент-математик четвертого курса
одного из лучших парижских университетов спросил меня во время трехча-
сового письменного экзамена по теории динамических систем: "Помогите,
пожалуйста: дробь четыре седьмых больше или меньше единицы? Я свел за-
дачу о поведении системы к исследованию сходности интеграла, а это
исследование - к асимптотике подинтегральной функции, и показатель
степени этой асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вы-
вода о сходимости интеграла нужно знать, больше ли это число чем 1, а
вы компьютером на экзамене пользоваться не разрешаете, и я не могу ре-
шить задачу до конца". Это был хороший студент, и он правильно решил
трудные вопросы теории динамических систем, которой я его учил целый
год, и дробь 4/7 он нашел правильно. Но простым дробям его учил не я,
а "современные дидактики", извратившие элементарное обучение так, что
все простые и полезные навыки вроде умения посчитать хотя бы на паль-
цах сумму 2 + 3 были утрачены. Между прочим, французский министр обра-
зования сам возмущался неумением лучших школьников Парижа сложить 2 и
3 (по его словам, они отвечали: "Это будет 3+2, так как сложение ком-
мутативно", а сосчитать ответ не могли). Вот к чему ведет американиза-
ция школьного образования и к чему склоняет российскую школу обсуждае-
мый проект.
Недавно руководство нашего Министерства образования опубликовало свой
список задач для фиксации уровня экзаменационных требований. Эти зада-
чи фиксировали крайне низкий уровень, а в новом проекте стандарта они
не заменены лучшим новым списком. Пример "геометрической" задачи из
этого списка: "У какого четырехугольника больше всего свойств?" Проект
предлагаемого "решения"; свойства параллелограмма занимают в учебнике
столько-то строк, ромба - столько-то, прямоугольника - столько-то,
трапеции - столько-то. Значит, наибольшее число свойств у квадрата.
Быть может, для адвокатов или законодателей такая псевдонаучная казу-
истика и полезна, но к геометрии и к математике вопрос этой задачи ни-
какого отношения не имеет. При обсуждении проекта реформы с его созда-
телями я обнаружил, что они хотят изгнать из школьной математики преж-
де всего логарифмы, считая, что "ни приведение к виду, удобному для
логарифмирования, ни таблицы Брадиса в век компьютеров больше не нуж-
ны". Я пытался объяснить необходимость экспонент и логарифмов и в фи-
зике (где ими определяется и барометрическая формула падения давления
воздуха с высотой, и законы квантовой и статистической механики), и в
экологии (закон Мальтуса), и в экономике ("сложные проценты" и "инфля-
ция валюты", включая, например, подсчет сегодняшней стоимости царских
долгов). Но выяснилось, что мои собеседники, экономисты, которым было
поручено реформировать программы по математике, никакого представления
об упомянутых мною законах экономики и фактах финансовой политики не
имеют.
Из сказанного следует, что вся обсуждаемая дрограмма составлена людьми
некомпетентными, а принятие этих "стандартов" нанесет серьезный и дли-
тельный вред делу образования в России. Стандарты по математике должны
бы были обсуждаться, например Математическим институтом РАН и без экс-
пертного заключения Академии никак не должны приниматься. В обсуждении
могло бы принять участие и Московское математическое общество (старей-
шее в мире, основанное еще во времена Н.Е. Жуковского). Необходима
также экспертиза со стороны лучших учителей математики, хотя бы мос-
ковских. В современной Франции 20% новобранцев полностью неграмотны,
не понимают письменных приказов начальства и способны поэтому напра-
вить свои ракеты не в ту сторону. Надеюсь, что попытки направить и
Россию по этому пути уничтожения образования, наук и культуры, прояв-
ляющиеся в обсуждаемых "стандартах" безграмотности (не только в мате-
матике, но и во всех областях, включая, например, литературу, где
стандарты предусматривают изучение Пушкина в объеме стихотворения "Па-
мятник" - с возможным добавлением учителем двух или трех произведений
по своему выбору), - все эти мракобесные мероприятия, я надеюсь, не
будут поддержаны нашим законодательством.

ЧТО ЖДЕТ ШКОЛУ В РОССИИ (ПО ПОВОДУ ПЛАНА МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ -
ПРОЕКТ 2001 ГОДА)

1. Основными целями образования объявляются "воспитание самостоя-
тельности, правовой культуры, умения сотрудничать и общаться с други-
ми, толерантности, знания экономики, права, менеджмента, социологии и
политологии, владения иностранным языком". Никакие науки в "цели обра-
зования" не включены.
2. Основными средствами для достижения этих целей объявляется
"разгрузка общеобразовательного ядра", "отказ от сциентистского (то
есть научного - В.А.) и предметоцентристского подходов (то есть от
обучения таблице умножения - В.А.), существенное сокращение объема об-
разования" (см. ниже п. 4).Специалистов необходимо отстранить от от
обсуждения программ своих специальностей (кто же согласится с мракобе-
сием ?).
3. Систему оценки "следует" изменить, "предусмотрев безотметочную
систему обучения", "оценивать не учеников, а коллективы", "отказаться
от учебных предметов" (уж очень они узки: уроки литературы, географии,
алгебры...), предполагаются "отказ от требовательности средней школы
по отношению к начальной" (зачем знать русский алфавит и уметь считать
на пальцах, если есть компьютеры!), "переход к объективизации процедур
оценки с учетом международного опыта" (то есть к тестам вместо экзаме-
нов), отказ от "рассмотрения обязательного минимума содержания образо-
вания" (это рассмотрение якобы "перегружает стандарты": некоторые на-
чинают требовать, чтобы школьники понимали, почему зимой холодно, а
летом тепло).
4. В средней школе в неделю должно быть: три часа русского языка,
три часа математики, три - иностранного языка, три - обществоведения,
три - естествознания; вот и вся программа, отменяющая "тупиковый пред-
метно-ориентированный подход", и позволяющая "включение дополнительных
модулей", а именно "гуманизацию и гуманитаризацию", "отражение культу-
ры местных народов", "интеграцию представлений о мире", "сокращение
домашней работы", "дифференциацию", "обучение коммуникативной техноло-
гии и информатике", "использование общих теорий обучения".
Таков план "модернизации" школы.
Короче говоря, план состоит в том, чтобы отдать предпочтение фак-
тическим знаниям и предметам (литература, физика, к примеру, полностью
выкинуты даже из тех перечней, где теперь появились различные виды во-
енной подготовки, называемые "дифференциацией": Калашников вместо
Шекспира).
Вместо знания того, что столица Франции - Париж (как говорил Ма-
нилов Чичикову), наших школьников будут теперь учить, что "столица
Америки - Нью-Йорк", и что Солнце вращается вокруг Земли, опуская уро-
вень знаний ниже требовавшегося при царе в церковноприходской школе.
Это торжество мракобесия - удивительная черта нового тысячелетия,
а для России - самоубийственная тенденция, которая приведет к падению
сначала интеллектуального и индустриального, а впоследствии - и до-
вольно быстро - оборонного и военного уровня страны.
Надежду вселяет только то, что аналогичные предпринимаемым сейчас
попытки уничтожить высокий уровень образования в России, ознаменовав-
шиеся в двадцатые и тридцатые годы "бригадно-потоковым методом", и
уничтожившие как гимназии, так и реальные училища, не увенчались успе-
хом: уровень образования в современных школах России остается высоким
(что признают даже авторы обсуждаемого документа, находящие этот уро-
вень чрезмерным).

"Известия" 8 февраля 2002 г., приложение "Наука", стр. III.

Новый обскурантизм и Российское просвещение

Моему Учителю Андрею Николаевичу Колмогорову посвящаю

"Не тронь мои круги" - сказал Архимед убивавшему его римскому солдату.
Эта пророческая фраза вспомнилась мне в Государственной Думе, когда
председательствовавший на заседании Комитета по образованию (22 октяб-
ря 2002 года) прервал меня словами: "У нес не Академия наук, где можно
отстаивать истины, а Государственная Дума, где всё основано на том,
что у разных людей по разным вопросам разные мнения". Мнение, которое
я отстаивал, состояло в том, что трижды семь - двадцать один, и что
обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных
чисел и даже дробей - государственна необходимость. Я упомянул о не-
давнем введении в штате Калифорния (по инициативе нобелевского лауреа-
та, специалиста по трансурановой физике Глена Сиборга) нового требова-
ния к поступающим в университеты школьникам: нужно уметь самостоятель-
но делить число 111 на 3 (без компьютера). Слушатели в Думе, видимо,
разделить не смогли, а потому не поняли ни меня, ни Сиборга: в "Извес-
тиях" при доброжелательном изложении моей фразы число "сто одиннад-
цать" заменили на "одиннадцать" (от чего вопрос становится гораздо бо-
лее трудным, так как одиннадцать на три не делится).
С торжеством обскурантизма я столкнулся, прочитав в "Независимой газе-
те" прославляющую вновь построенные под Москвой пирамиды статью "Рет-
рограды и шарлатаны", где Российская Академия Наук объявлялась собра-
нием тормозящих развитие наук ретроградов (напрасно пытающихся всё
объяснять своими "законами природы"). Должен сказать, что я, видимо,
тоже ретроград, так как всё ещё верю в законы природы и считаю, что
Земля вертится вокруг своей оси и вокруг Солнца, и что младшим школь-
никам нужно продолжать объяснять, почему зимой холодно, а летом тепло,
не позволяя уровню нашего школьного образования опускаться ниже дости-
гавшегося в церковно-приходских школах до революции (а именно к подоб-
ному снижению уровн образования стремятся, ссылаясь на действительно
низкий американский школьный уровень, наши нынешние реформаторы). Аме-
риканские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и
школьного образования в их стране - сознательное достижение ради эко-
номических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный че-
ловек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных
машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога,
Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления
и, прежде всего, доходы хозяев жизни - вот они и стремятся не допус-
тить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им мани-
пулировать населением, как лишённым интеллекта стадом). Столкнувшись с
антинаучной пропагандой и в России, я решил посмотреть на пирамиду,
построенную недавно километрах в двадцати от моего дома, и поехал туда
на велосипеде через вековые сосновые леса междуречья Истры и Моск-
вы-реки. Здесь мне встретилась трудность: хотя Пётр Великий и запретил
вырубать леса ближе двухсот вёрст от Москвы, на моём пути недавно ого-
родили и изуродовали несколько лучших квадратных километров соснового
бора (как мне объяснили местные деревенские жители, это сделал "из-
вестный [всем, кроме меня! - В. А.] бандит Пашка"). А ведь ещё лет
двадцать назад, когда я добирал на этой застроенной теперь просеке
ведро малины, меня обошло, сделав полукруг метров десяти радиусом, це-
лое стадо шедших по просеке кабанов. Подобные застройки идут сейчас
всюду. Недалеко от моего дома в своё время население не допустило (ис-
пользуя даже телевизионные протесты) застройку леса монгольскими и
другими чиновниками. Но с тех пор положение изменилось: бывшие раньше
правительственно-партийными посёлки захватывают у всех на глазах новые
квадратные километры древнего леса, и никто уже и не протестует (в
средневековой Англии "огораживания" вызывали восстания!). Правда, в
соседнем со мной селе Солослове против застройки леса пытался возра-
жать один член сельсовета. И тогда среди бела дня приехала машина с
вооружёнными бандитами, которые его прямо в деревне, дома и застрели-
ли. И застройка в результате состоялась.
В другой соседней деревне, Дарьине, новой застройке особняками под-
верглось целое поле. Отношение народа к этим событиям ясно из имени,
которое они в деревне дали этому застроенному полю (имени, к сожале-
нию, ещё не отражённому на картах): "воровское поле".
Новые автомобилизированные жители этого поля превратили в свою проти-
воположность ведущее от нас на станцию Перхушково шоссе. Автобусы по
нему за последние годы почти перестали ходить. Вначале новые жите-
ли-автомобилисты собирали на конечной станции деньги для водителя ав-
тобуса, чтобы он объявлял автобус "неисправным" и пассажиры платили бы
частникам. По этому шоссе носятся теперь с огромной скоростью (и по
чужой, часто, полосе) автомобили новых жителей "поля". И я, идя на
станцию за пять вёрст пешком, рискую быть сшибленным, подобно моим
многочисленным предшественникам-пешеходам, места гибели которых были
ещё недавно отмечены на обочинах венками. Электрички, впрочем, теперь
тоже порой не останавливаются на предусмотренных расписанием станциях.
Прежде милиция пыталась измерять скорость убийц-автомобилистов и пре-
пятствовать им, но после того, как измерявший скорость радаром милици-
онер был застрелен охранником проезжавшего, останавливать автомобили
никто больше не решается. Время от времени я нахожу прямо на шоссе
стреляные гильзы, но в кого здесь стреляли - не ясно. Что же касается
венков над местами гибели пешеходов, то все их недавно заменили объяв-
лениями "Свалка мусора запрещена", повешенными на тех же деревьях, где
прежде были венки с именами сваленных.
По старинной тропе от Аксиньина до Чеснокова, используя гати, проло-
женные ещё Екатериной II, я добрался до пирамиды и увидел внутри неё
"стеллажи для зарядки бутылок и других объектов оккультной интеллекту-
альной энергией". Инструкция в несколько квадратных метров величиной
перечисляла пользу от несколькочасового пребывания предмета или боль-
ного гепатитом А или В в пирамиде (в газете я читал, что кто-то даже
отправил за народные деньги многокилограммовый груз "заряженных" пира-
мидой камней на космическую станцию).
Но составители этой инструкции проявили и неожиданную для меня чест-
ность: они написали, что толпиться в очереди к стеллажам внутри пира-
миды не стоит, так как "в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект
будет таким же". Это, я думаю, - совершенная правда.
Так что, как настоящий "ретроград", я считаю всё это пирамидальное
предприятие вредной антинаучной рекламой магазина по продаже "объектов
для заряжания". Но обскурантизм шёл вслед за научными достижениями
всегда, начиная с древности. Ученик Аристотеля, Александр Филиппович
Македонский, сделал ряд "научных" открытий (описанных его спутником,
Арианом, в "Анабазисе"). Например, он открыл исток реки Нил: по его
словам, это Инд. "Научные" доказательства были такими: " Это - единс-
твенные две большие реки, которые кишмя кишат крокодилами" (и подт-
верждение: "Вдобавок, берега обеих рек заросли лотосами"). Впрочем,
это не единственное его открытие: он "обнаружил", также, что река Ок-
сус (сегодня называемая Аму-Дарьёй) "впадает с севера, повернув около
Урала, в Меотийское болото понта Эвксинского, где и называется Танаи-
сом" ("Та-наис" - это Дон, а "Меотийское болото" - Азовское море).
Влияние обскурантистских идей на события не всегда ничтожно: Александр
из Согдианы (то есть Самарканда) пошёл не дальше на Восток, в Китай,
как он сперва хотел, а на юг, в Индию, опасаясь водной преграды, сое-
диняющей, по его третьей теории, Каспийское ("Гирканское") море с Ин-
дийским океаном (в районе Бенгальского залива). Ибо он считал, что мо-
ря, "по определению", - это заливы океана. Вот к каким "наукам" нас
ведут. Хочется выразить надежду, что наши военные столь сильному влия-
нию обскурантистов не подвергнутся (они даже помогли мне спасти гео-
метрию от попыток "реформаторов" изгнать её из школы). Но и сегодняш-
ние попытки понизить уровень школьного обучения в России до американс-
ких стандартов крайне опасны и для страны, и для мира.
В сегодняшней Франции 20% новобранцев в армии полностью безграмотны,
не понимают письменных приказов офицеров (и могут послать свои ракеты
с боеголовками совсем не в ту сторону). Да минует нас чаша сия! Наши
пока ещё читают, но "реформаторы" хотят это прекратить: "И Пушкин, и
Толстой - это слишком много!" - пишут они.
Описывать, как планируют они ликвидировать наше традиционно высокока-
чественное математическое школьное образование, мне, как математику,
было бы слишком легко. Перечислю вместо этого несколько аналогичных
мракобесных идей, касающихся обучения другим предметам: экономике,
праву, обществоведению, литературе (предметы, правда, они предлагают
вообще все в школе отменить).
В опубликованном Министерством образования России двухтомном проекте
"Стандартов общего образования" приведён большой список тем, знания
которых у обучаемых предлагается перестать требовать. Именно этот спи-
сок даёт самое яркое представление об идеях "реформаторов" и о том, от
каких "излишних" знаний они стремятся "защитить" следующие поколения.
Я воздержусь от политических комментариев, но вот типичные примеры
якобы "излишних" сведений, выписанные из четырёхсотстраничного проекта
"Стандарты":
* Конституция СССР;
* фашистский "новый порядок" на оккупированных территориях;
* Троцкий и троцкизм;
* основные политические партии;
* христианская демократия;
* инфляция;
* прибыль;
* валюта;
* ценные бумаги;
* многопартийность;
* гарантии прав и свобод;
* правоохранительные органы;
* деньги и другие ценные бумаги;
* формы государственно-территориального устройства Российской Федерации;
* Ермак и присоединение Сибири;
* внешняя политика России (XVII, XVIII, XIX и XX веков);
* польский вопрос;
* Конфуций и Будда;
* Цицерон и Цезарь;
* Жанна д'Арк и Робин Гуд;
* физические и юридические лица;
* правовой статус человека в демократическом правовом государстве;
* разделение властей;
* судебная система;
* самодержавие, православие и народность (теория Уварова);
* народы России;
* христианский и исламский мир;
* Людовик XIV;
* Лютер;
* Лойола;
* Бисмарк;
* Государственная Дума;
* безработица;
* суверенитет;
* фондовый рынок (биржа);
* доходы государства;
* доходы семьи.
"Обществоведение", "история", "экономика" и "право", лишённые обсужде-
ния всех этих понятий - просто формальные богослужения, бесполезные
для обучаемых. Во Франции я опознаю такого рода теологическую болтовню
на абстрактные темы по ключевому набору слов: "Франция, как старшая
дочь католической церкви..." (далее может следовать что угодно, напри-
мер: "... не нуждается в расходах на науку, так как учёные у нас уже
были и ещё есть"), как я это слышал на заседании Национального Комите-
та Республики Франции по Науке и Исследованиям, членом которого меня
назначил Министр Науки, Исследований и Технологии Республики Франции.
Чтобы не быть односторонним, приведу ещё список "нежелательных" (в том
же смысле "недопустимости" серьёзного их изучения) авторов и произве-
дений, упоминаемых в этом качестве позорным "Стандартом":
* Глинка;
* Чайковский;
* Бетховен;
* Моцарт;
* Григ;
* Рафаэль;
* Леонардо да Винчи;
* Рембрандт;
* Ван Тог;
* Омар Хайям;
* "Том Сойер";
* "Оливер Твист";
* Сонеты Шекспира;
* "Путешествие из Петербурга в Москву" Радищева;
* "Стойкий оловянный солдатик";
* "Гобсек";
* "Отец Горио";
* "Отверженные";
* "Белый клык";
* "Повести Белкина";
* "Борис Годунов";
* "Полтава";
* "Дубровский";
* "Руслан и Людмила";
* "Свинья под дубом";
* "Вечера на хуторе близ Диканьки";
* "Лошадиная фамилия";
* "Кладовая солнца";
* "Мещёрская сторона";
* "Тихий Дон";
* "Пигмалион";
* "Гамлет";
* "Фауст";
* "Прощай, оружие";
* "Дворянское гнездо";
* "Дама с собачкой";
* "Попрыгунья";
* "Облако в штанах";
* "Чёрный человек";
* "Бег";
* "Раковый корпус";
* "Ярмарка тщеславия";
* "По ком звонит колокол";
* "Три товарища";
* "В круге первом";
* "Смерть Ивана Ильича".
Иными словами, Русскую Культуру предлагают отменить как таковую.
Школьников стараются "защитить" от влияния "излишних", по мнению
"Стандартов", центров культуры; таковыми здесь оказались нежелатель-
ные, по мнению составителей "Стандартов", для упоминания учителями в
школе:
* Эрмитаж;
* Русский музей;
* Третьяковская галерея;
* Пушкинский музей Изобразительных искусств в Москве.
Колокол звонит по нам!
Трудно всё же удержаться и совсем не упомянуть, что именно предлагает-
ся сделать "необязательным для обучения" в точных науках (во всяком
случае, "Стандарты" рекомендуют "не требовать от школьников усвоения
этих разделов"):
* строение атомов;
* понятие дальнодействия;
* устройство глаза человека;
* соотношение неопределённостей квантовой механики;
* фундаментальные взаимодействия;
* звёздное небо;
* Солнце как одна из звёзд;
* клеточное строение организмов;
* рефлексы;
* генетика;
* происхождение жизни на Земле;
* эволюция живого мира;
* теории Коперника, Галилея и Джордано Бруно;
* теории Менделеева, Ломоносова, Бутлерова;
* заслуги Пастера и Коха;
* натрий, кальций, углерод и азот (их роль в обмене веществ);
* нефть;
* полимеры.
Из математики такой же дискриминации подверглись в "Стандартах" и те-
мы, без которых не сможет обойтись ни один учитель (и без полного по-
нимания которых школьники будут полностью беспомощными и в физике, и в
технике, и в огромном числе других приложений наук, в том числе и во-
енных, и гуманитарных):
* необходимость и достаточность;
* геометрическое место точек;
* синусы углов в 30, 45, 60 градусов;
* построение биссектрисы угла;
* деление отрезка на равные части;
* измерение величины угла;
* понятие длины отрезка;
* сумма членов арифметической прогрессии;
* площадь сектора;
* обратные тригонометрические функции;
* простейшие тригонометрические неравенства;
* равенства многочленов и их корни;
* геометрия комплексных чисел (необходимая и для физики переменного
тока, и для радиотехники, и для квантовой механики);
* задачи на построение;
* плоские углы трёхгранного угла;
* производная сложной функции;
* превращение простых дробей в десятичные.
Надежду вселяет лишь то, что существующие пока тысячи прекрасно подго-
товленных учителей будут продолжать выполнять свой долг и обучать все-
му этому новые поколения школьников, несмотря на любые приказы Минис-
терства. Здравый смысл сильнее бюрократической дисциплины. Надо только
не забывать нашим замечательным учителям достойно платить за их под-
виг. Представители Думы объяснили мне, что положение можно было бы,
сильно улучшить, если бы озаботиться об исполнении принятых уже зако-
нов об образовании.
Следующее описание состояния дел было изложено депутатом И. И. Мельни-
ковым в его докладе в Математическом Институте им. В. А. Стеклова Рос-
сийской Академии Наук в Москве осенью 2002 года. Например, один из за-
конов предусматривает ежегодное увеличение бюджетного вклада в обуче-
ние примерно на 20% в год. Но министр сообщил, что "заботиться об ис-
полнении этого закона не стоит, так как практически ежегодное увеличе-
ние происходит больше, чем на 40%". Вскоре после этой речи министра
было объявлено практически реализуемое на ближайший (это был 2002) год
увеличение (на гораздо меньший процент). А если ещё учесть инфляцию,
то, оказывается, принято было решение об уменьшении реального годового
вклада в образование.
Другой закон указывает процент расходов бюджета, который должен тра-
титься на образование. Реально тратится гораздо меньшее (во сколько
именно раз, узнать точно я не сумел). Зато расходы на "оборону от
внутреннего врага" повысились от трети до половины расходов на оборону
от врага внешнего.
Естественно перестать учить детей дробям, а то ведь, не дай Бог, пой-
мут!
По-видимому, именно в предвидении реакции учителей составители "Стан-
дарта" снабдили ряд имён писателей в своём списке рекомендованного
чтения (вроде имён Пушкина, Крылова, Лермонтова, Чехова и тому подоб-
ных) знаком "звёздочка", расшифровываемым ими как: "По своему желанию
учитель может познакомить учеников ещё с одним или двумя произведения-
ми того же автора" (а не только с "Памятником", рекомендованным ими в
случае Пушкина).
Более высокий по сравнению с заграничным уровень нашего традиционного
математического образования стал для меня очевиден только после того,
как я смог сравнить этот уровень с зарубежным, проработав немало се-
местров в университетах и колледжах Парижа и Нью-Йорка, Оксфорда и
Кембриджа, Пизы и Болоньи, Бонна и Беркли, Стэнфорда и Бостона, Гон-
конга и Киото, Мадрида и Торонто, Марселя и Страсбурга, Утрехта и
Рио-де-Жанейро, Конакри и Стокгольма. "Мы никак не можем следовать
твоему принципу - выбирать кандидатов по их научным достижениям", -
сказали мне коллеги в комиссии по приглашению новых профессоров в один
из лучших университетов Парижа. "Ведь в этом случае нам пришлось бы
выбирать одних только русских - настолько их научное превосходство нам
всем ясно!" (я же говорил при этом об отборе среди французов).
Рискуя быть понятым одними только математиками, я приведу всё же при-
меры ответов лучших кандидатов на профессорскую должность математика в
университете в Париже весной 2002 года (на каждое место претендовало
200 человек). Кандидат преподавал линейную алгебру в разных универси-
тетах уже несколько лет, защитил диссертацию и опубликовал с десяток
статей в лучших математических журналах Франции. Отбор включает собе-
седование, где кандидату предлагаются всегда элементарные, но важные
вопросы (уровня вопроса "Назовите столицу Швеции", если бы предметом
была география). Итак, я спросил: "Какова сигнатура квадратичной формы
xy?" (разность числа положительных и отрицательных собственных чисел,
поскольку xy = 1/4*(x+y)^2 - 1/4*(x-y)^2 сигнатура равна нулю).
Кандидат потребовал положенные ему на раздумье 15 минут, после чего
сказал: "В моём компьютере в Тулузе у меня есть рутина (программа),
которая за час-другой могла бы узнать, сколько будет плюсов и сколько
минусов в нормальной форме. Разность этих двух чисел и будет сигнату-
рой - но ведь вы даёте только 15 минут, да без компьютера, так что от-
ветить я не могу, эта форма ху уж слишком сложна". Для неспециалистов
поясню, что, если бы речь шла о зоологии, то этот ответ был бы анало-
гичен такому: "Линней перечислил всех животных, но является ли берёза
млекопитающей или нет, без книги ответить не могу".
Следующий кандидат оказался специалистом по "системам эллиптических
уравнений в частных производных" (полтора десятка лет после защиты
диссертации и более двадцати опубликованных работ). Этого я спросил:
"Чему равен лапласиан от функции 1/r в трёхмерном евклидовом прост-
ранстве?" (нулю). Ответ (через обычные 15 минут) был для меня порази-
тельным; "Если бы r стояло в числителе, а не в знаменателе, и произ-
водная требовалась бы первая, а не вторая, то я бы за полчаса сумел
посчитать её, а так - вопрос слишком труден". Поясню, что вопрос был
из теории эллиптических уравнений типа вопроса "Кто автор "Гамлета"?"
на экзамене по английской литературе. Пытаясь помочь, я задал ряд на-
водящих вопросов (аналогичных вопросам об Отелло и об Офелии): "Знаете
ли Вы, в чём состоит закон Всемирного тяготения? Закон Кулона? Как они
связаны с лапласианом? Какое у уравнения Лапласа фундаментальное реше-
ние?" Но ничего не помогало: ни Макбет, ни Король Лир не были известны
кандидату, если бы шла речь о литературе. Наконец, председатель экза-
менационной комиссии объяснил мне, в чём дело: "Ведь кандидат занимал-
ся не одним эллиптическим уравнением, а их системами, а ты спрашиваешь
его об уравнении Лапласа, которое всего одно - ясно, что он никогда с
ним не сталкивался!"
В литературной аналогии это "оправдание" соответствовало бы фразе:
"Кандидат изучал английских поэтов, откуда же ему знать Шекспира, ведь
он - драматург!" Третий кандидат (а опрашивались десятки их) занимался
"голоморфными дифференциальными формами", и его я спросил: "Какова ри-
манова поверхность тангенса?" (цилиндр, об арктангенсе спрашивать я
побоялся). Ответ: "Римановой метрикой называется квадратичная форма от
дифференциалов координат, но какая форма связана с функцией "тангенс",
мне совершенно не ясно". Поясню опять образцом аналогичного ответа,
заменив на этот раз математику историей (к которой более склонны мит-
рофаны). Здесь вопрос был бы: "Кто такой Юлий Цезарь?", а ответ: "Це-
зарями называли властителей Византии, но Юлия я среди них не знаю".
Наконец, появился вероятностник-кандидат, интересно рассказывавший о
своей диссертации. Он доказал в ней, что утверждение "справедливы
вместе А и B" неверно (сами утверждения А и В формулируются длинно,
так что здесь я их не воспроизвожу). Вопрос: "А всё же, как обстоит
дело с утверждением A самим по себе, без В: верно оно или нет?" Ответ:
"Ведь я же сказал, что утверждение "A и В" неверно. Это означает, что
A тоже неверно". То есть: "Раз неверно, что "Петя с Мишей заболели хо-
лерой", то Петя холерой не заболел". Здесь моё недоумение опять рассе-
ял председатель комиссии: он объяснил, что кандидат - не вероятност-
ник, как я думал, а статистик (в биографии, называемой CV, стоит не
"proba", a "stat"). "У вероятностников, - объяснил мне наш опытный
председатель, - логика нормальная, такая же, как у математиков, арис-
тотелевская. У статистиков же она совершенно другая: недаром же гово-
рят "есть ложь, наглая ложь и статистика". Все их рассуждения бездока-
зательны, все их заключения ошибочны. Но зато они всегда очень нужны и
полезны, эти заключения. Этого статистика нам обязательно надо при-
нять!"
Специалиста по голоморфным формам тоже одобрили. Довод был ещё проще:
"Курс голоморфных функций нам читал (в элитарной Высшей Нормальной
Школе) знаменитый профессор Анри Картан, и там римановых поверхностей
не было!" - сказал мне председатель. И добавил: "Если я и выучился ри-
мановым поверхностям, то только двадцать лет спустя, когда они мне по-
надобились для работы (в финансовой математике). Так что незнакомство
с ними - отнюдь не недостаток кандидата!"
В Московском Университете такой невежда не смог бы окончить третий
курс механико-математического факультета. Римановы поверхности считал
вершиной математики ещё основатель Московского Математического общест-
ва Н. Бугаев (отец Андрея Белого). Он, правда, считал, что в современ-
ной ему математике конца XIX века начали появляться не укладывающиеся
в русло этой старой теории объекты - неголоморфные функции действи-
тельных переменных, являющиеся, по его мнению, математическим воплоще-
нием идеи свободной воли в той же мере, в какой римановы поверхности и
голоморфные функции воплощают идею фатализма и предопределённости. В
результате этих размышлений Бугаев послал молодых москвичей в Париж,
чтобы они выучились там новой "математике свободной воли" (у Бореля и
Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н. Н. Лузин, создавший по
возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных мос-
ковских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского,
Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева,
Гельфанда и Люстерника. Между прочим, Колмогоров рекомендовал мне
впоследствии выбранную себе Лузиным в Латинском квартале Парижа гости-
ницу "Паризиана" (на улице Турнефор, недалеко от Пантеона). Во время
Первого Европейского Математического Конгресса в Париже (1992) остано-
вился в этой недорогой гостинице (с удобствами на уровне XIX века, без
телефона и так далее). И престарелая хозяйка этой гостиницы, узнав,
что я приехал из Москвы, сейчас же спросила меня: "А как там поживает
мой старый постоялец, Лузин? Жалко, что он давно не навещал нас" (Лу-
зин умер в 1950 году).
Через пару лет гостиницу закрыли на ремонт (хозяйка, вероятно, умерла)
и стали перестраивать на американский лад, так что теперь этот остро-
вок XIX века в Париже уже не увидишь. Возвращаясь к выбору профессоров
2002 года, замечу, что все перечисленные выше невежды получили (у
всех, кроме меня) самые хорошие оценки. Напротив того, был почти еди-
нодушно отвергнут единственный, на мой взгляд, достойный кандидат. Он
открыл (при помощи "базисов Грёбнера" и компьютерной алгебры) несколь-
ко десятков новых вполне интегрируемых систем гамильтоновых уравнений
математической физики (получив заодно, но не включив в список новых, и
знаменитые уравнения Кортевега-де Фриза, Сайн-Гордон и тому подобное).
В качестве своего проекта на будущее кандидат предложил также новый
компьютерный метод моделирования лечения диабета. На мой вопрос об
оценке его метода врачами он ответил совершенно разумно: "Метод сейчас
проходит апробацию в таких-то центрах и больницах, и через полгода они
дадут свои заключения, сравнив результаты с другими методами и с конт-
рольными группами больных, а пока эта экспертиза не проведена, и есть
только лишь предварительные оценки, правда, хорошие". Отвергли его с
таким объяснением: "На каждой странице его диссертации упомянуты либо
группы Ли, либо алгебры Ли, а у нас этого никто не понимает, так что
он к нашему коллективу совершенно не подойдёт". Правда, так можно было
бы отвергнуть и меня, и всех моих учеников, но некоторые коллеги дума-
ют, что причина отклонения была иной: в отличие от всех предыдущих
кандидатов, этот не был французом (он был учеником известного амери-
канского профессора из Миннесоты). Вся описанная картина наводит на
грустные мысли о будущем французской науки, в частности математики.
Хотя "Национальный Комитет Франции по Науке" склонялся к тому, чтобы
новые научные исследования вовсе не финансировать, а потратить (пре-
доставляемые Парламентом для развития науки) деньги на закупку готовых
американских рецептов, я резко выступил против этой самоубийственной
политики и добился всё же хотя бы некоторого субсидирования новых исс-
ледований. Трудность вызвал, однако, делёж денег. Недостойными субси-
дирования были последовательно признаны голосованием (в течение пяти-
часового заседания) медицина, атомная энергетика, химия полимеров, ви-
русология, генетика, экология, охрана окружающей среды, захоронение
радиоактивных отходов и многое другое. В конце концов всё же выбрали
три "науки", якобы заслуживающие финансировани своих новых исследова-
ний. Вот эти три "науки": 1) СПИД; 2) психоанализ; 3) сложная отрасль
фармацевтической химии, научное название которой я воспроизвести не в
силах, но которая занимается разработкой психотропных препаратов, по-
добных лакримогенному газу, превращающих восставшую толпу в послушное
стадо. Так что теперь Франция спасена!

"ОТ ТЕОРИИ РАДУГИ ДО ГИДРОДИHАМИКИ ВСЕЛЕHHОЙ"

"Фундаментальное единство математики и физики кажется мне замечатель-
ной чертой современного развития обеих наук", - уверен академик Влади-
мир Арнольд

Андрей Ваганов
В номере "HГ" от 27 декабря 2001 г. была опубликована часть из большо-
го интервью, которое дал нашей газете один из крупнейших математиков
современности, академик Владимир Арнольд. Та публикация касалась в ос-
новном вопросов математического образования. Сегодня мы представляем
взгляд знаменитого российского ученого на развитие собственно матема-
тики.

Владимир Игоревич, в России как-то совсем незамеченным осталось при-
суждение вам в прошлом году одной из самых престижных в области мате-
матики международных премий имени Вольфа. Расскажите немного подроб-
нее, что это за награда, за какие конкретно результаты она была при-
суждена вам?

Премия Вольфа действительно одна из самых уважаемых математиками пре-
мий. Каждый год ею награждаются около десятка представителей разных
профессий (от математики до архитектуры, от медицины до биохимии и
сельскохозяйственных наук); их отбирает международный комитет, а вру-
чает президент Израиля в здании кнессета, то есть парламента, в Иеру-
салиме. Математиков обычно ежегодно награждается двое (так было и в
прошлом году). Русский и французский послы мирно поделили участие в
церемониале награждения, представлявшего обе страны российского мате-
матика (Владимир Арнольд - иностранный член Парижской АH, почетный
доктор Университета Пьера и Мари Кюри (Париж); в настоящее время -
профессор Университета Париж-Дофин - А.В.). Список предыдущих лауреа-
тов премии Вольфа - рекордный по представлению лучших математиков ми-
ра: здесь при отборе отсутствует дискриминация, сильно вредящая другим
премиям (например, Эндрю Уайлса нельзя было наградить медалью Филдса
за его решение проблемы Ферма, так как его возраст на год превзошел
установленный предел). Мне приятно перечислить замечательных математи-
ков ХХ века, удостоенных премии Вольфа (почему-то многие из них не бы-
ли награждены в свое время другими явно заслуженными ими наградами):
И.М. Гельфанд, К.Л. Зигель, Ж. Лере, А. Вейль, А.H. Колмогоров,
А. Картан, Л. Альфорс, О. Зариский, Х. Уитни, М.Г. Крейн, Ш. Чжень,
П. Эрдеш, К. Кодаира, Г. Леви, С. Эйленберг, А. Сельберг, К. Ито,
П. Лакс, Ф. Хирцебрух, Л. Хермандер, А. Кальдерон, Дж. Милнор,
Де Джорджи, И.И. Пятецкий-Шапиро, Л. Карлесон, Дж. Томпсон, М. Громов,
Ж. Титс, Ю. Мозер, Р. Лэнглэндс, Э. Уайлс, Дж. Келлер, Я. Синай,
М. Берри, Э. Штейн, Р. Ботт, Ж.-П. Серр. Я насчитываю здесь восемь
представителей России (считая и себя).
В решении Вольфовского комитета подчеркнуты три направления моих исс-
ледований: теория динамических систем, теория особенностей и симплек-
тическая топология и геометрия.
В теории динамических систем главными считаются результаты об устойчи-
вости и о неустойчивости движения в гамильтоновых системах. (Гамильто-
новыми системами являются небесно-механические, но полученные здесь
результаты используются также в теории магнитных поверхностей для
удержания плазмы в системах термоядерного синтеза, в теории ускорите-
лей, в теории гироскопов.) В качестве просто формулируемого, но очень
трудно доказываемого результата можно упомянуть устойчивость перевер-
нутого вверх ногами маятника, точка подвеса которого совершает быстрые
колебания в вертикальном направлении. Все это направление физиками бы-
ло названо "теорией КАМ", то есть Колмогорова-Арнольда-Мозера. Прези-
дент Израиля, вручая мне премию, специально отметил, что теперь все
трое - Вольфовские лауреаты.
Теория особенностей включает исследование каустик волновых фронтов.
Эти приложения восходят к Архимеду, сжегшему при помощи каустики вра-
жеские корабли (впрочем, Аристофан в "Облаках" указывает, что Сократ
на двести лет раньше уже использовал каустики в юридической практике).
Мне удалось открыть удивительные связи теорий каустик и фронтов с тео-
рией простых алгебр Ли и с теорией групп отражений. Физики называют
мои достижения в этой области "квантовой теорией катастроф", но приду-
мал я это, занимаясь анализом перегрева электронных схем в больших
ЭВМ. Полученные здесь результаты являются также грандиозным обобщением
теории радуги, объясняющей ее угол раствора (43 градуса) геометрией
соответствующих каустик. Hо каустики, возникающие в моих обобщениях
теории радуги, применяются также для анализа релятивистских гравитаци-
онных линз и "гидродинамики Вселенной" Зельдовича, исследующей особен-
ности крайне неравномерного крупномасштабного распределения галактик:
больших пустотах между поверхностями, к которым тяготеют галактики,
повышенную плотность галактик на особенных линиях этих поверхностей и
особенно в их специальных точках (которые моя теория и связывает - до-
вольно таинственным образом - с упомянутыми выше алгебрами Ли и с
группами отражений, то есть с многомерными калейдоскопами). Обнаружен-
ное здесь фундаментальное единство математики и физики кажется мне за-
мечательной чертой современного развития обеих наук.
Создание симплектической топологии, доказывающей, например, необходи-
мость большого числа периодических траекторий в задачах небесной меха-
ники с одной стороны и большого числа особенностей каустик в теории
распространения волн - с другой, совершенно изменило эту большую об-
ласть математики. Самые последние работы многих авторов из разных
стран по доказательству "гипотез Арнольда" 1965 года, которыми эта те-
ория была создана, связали всю эту топологическую теорию с методами
квантовой теории поля. Обнаруженные здесь связи используются теперь в
обоих направлениях: симплектическая топология полезна в квантовой тео-
рии, а методы квантовой теории поля приводят иногда к трудным тополо-
гическим результатам. Из последних результатов в этой области упомяну
недавнее доказательство моими учениками Чекановым и Пушкарем моей ги-
потезы о необходимости пройти через фронт с четырьмя или более точками
возврата при выворачивании волнового фронта на плоскости.

После доказательства Эндрю Уайлсом в конце прошлого века Великой тео-
ремы Ферма, какие наиболее интригующие, чисто математические проблемы,
встали на повестку дня?

Проблема Ферма, на мой взгляд, скорее малоинтересна: Анри Пуанкаре
считал, что таковы все проблемы, допускающие бинарный ответ типа "да"
или "нет". Hастоящие проблемы - по его мнению - это исследования воп-
росов, ответ которых заранее не предсказан. Как основную проблему ма-
тематики на пороге XIX и ХХ века он называл создание математического
аппарата теории относительности и квантовой физики. Юрий Иванович Ма-
нин опубликовал недавно свою теорию, согласно которой основная цель
математики - отвлекать умников от опасных для человечества задач науки
и техники (вроде совершенствования автомобилей или самолетов) в сторо-
ну совершенно бесполезных исследований никому не интересных вопросов
(вроде бесконечности числа "близнецов", то есть пар простых чисел, от-
личающихся на две единицы, как 11 и 13, 17 и 19). Десятки подобных за-
дач можно найти в книге "Mathematics: its Frontiers and Perspectives"
(V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur-Eds, IMU, AMS, 2000), выходя-
щей вскоре в русском переводе. В этой книге находится и упомянутая вы-
ше статья Манина, и моя статья ("Полиматематика") о единстве математи-
ки и физики.
Рискуя попасть в категорию сочинителей отвлекающих проблем, я все же
упомяну здесь одну задачу, которую я придумал студентом младших курсов
университета, но которая, кажется, остается нерешенной и сегодня -
"задача о мятом рубле". Перегибая рубль, можно сразу получить на плос-
кости, скажем, (невыпуклый) шестиугольник, а перегибая много раз -
много различных многоугольников. Может ли при этом получиться многоу-
гольник большего периметра, чем периметр исходного прямоугольного руб-
ля? Современные комментаторы рекламируют эту задачу словами: "Сделайте
ваш рубль больше!" Огромное (порядка 1000) число задач (с комментария-
ми) имеется в книге "Задачи Арнольда" (М.: Фазис, 2000, 452 с.), мно-
гие из них не решены. Среднее время, которое задача из этой книги ос-
тавалась нерешенной, составило около семи лет.

Как повлияло (и повлияло ли) на тенденции в математике развитие компь-
ютерной техники? Можно ли вообще в связи с этим сказать, что появилась
какая-то особая математика - компьютерная? Hе изменились ли сами онто-
логические основы математики, в частности, принцип доказательства?

Hикакой "компьютерной математики" я не знаю, хотя компьютерная техни-
ка, как усовершенствование и таблицы умножения, и логарифмической ли-
нейки, часто бывает полезной. Мне пришлось проводить огромные (и даже
рекордные) вычисления на машинах типа Сray для работ по магнитной гид-
родинамике, а иногда даже помогает компьютерная коммутативная алгебра,
базисы Гребнера и т.п. Hо чаще всего вычислительной мощности не хвата-
ет для серьезного дела.
К сожалению, монополистически-империалистическая агрессивность компь-
ютерного сообщества угрожает уничтожением математической культуры
(прежде всего они хотят уничтожить журналы и книги, потом лекции и эк-
замены). Hедавно я прочитал в интернет-версии своей статьи (версии,
сделанной без моего разрешения и контроля), что "динамический прогноз
погоды невозможен из-за того, что неточное знание начального условия
приводит к ошибкам предсказания на несколько недель, большим количест-
вам исходных неточностей, примерно в 105 раз".
Это - явное свидетельство полной математической безграмотности компь-
ютерщика: у меня, конечно, было "в 10^5 раз", то есть не в 105, а при-
мерно в сто тысяч раз. Hикакой культурный человек вообще никогда не
скажет ни о чем "примерно 105" - если уж "примерно", то 100, а не 105!
В статье Смейла (в упомянутой выше книге о границах и перспективах ма-
тематики) сформулирована проблема, которую он считает подарком от
компьютерной науки математике: это проблема оценки снизу сложности ал-
горитмов, где требуется доказать, что цели нельзя достигнуть быстрее,
чем за оцениваемое снизу через сложность исходных данных число опера-
ций. Hо никаких принципиальных изменений в математику никто, на мой
взгляд, не внес. Пастер говорил, что никогда не было, нет и не будет
никаких "прикладных наук". Есть науки, добывающие определенные знания,
и есть их приложения, использующие добытое самыми обычными, фундамен-
тальными науками. О "прикладной науке Х" обычно кричат члены мафии,
желающей отнять у науки Х ее финансирование и забрать его себе. Этот
эффект был хорошо известен для многих наук еще в девятнадцатом веке.
Hадеюсь, что у математики ничего отнять не удастся.

И все-таки, не складывается ли у вас впечатления, что математика в хо-
де своего развития "ушла вперед", а общество отстало?

Математика действительно развивается очень быстро, хотя и неравномер-
но. Я встречал среди уважаемых профессоров математики в лучших универ-
ситетах самых развитых стран совершенно отсталых мракобесов, отставших
от своей же науки. В Париже студентов-математиков сразу учат, что ос-
новой математики является импликация, определяемая следующим мракобес-
ным определением: если А и В верны, то верна и импликация "из А следу-
ет В". То есть "если дважды два четыре, то из этого следует, что Земля
вращается вокруг Солнца". При таком мракобесном образовании студент
уже не сможет никогда понять ничего ни в какой естественной науке. Ду-
маю, что это мракобесие оправдывает и преследования Галилея, который
ведь пытался реально доказывать вращение Земли и другие подобные фак-
ты.
Так что математики отстали на сотни лет от естественно-научного миро-
воззрения ничуть не меньше, чем "общество" (которое тоже движется к
каменному веку).

А почему так вяло внедряется (распространяется?) математический подход
в социальных науках?

После моего доклада на заседании Российской академии наук, посвященном
концу ХХ века, социологи-академики сделали мне выговор, который, воз-
можно, пояснит нежелание математиков с ними взаимодействовать. "В тво-
ем докладе - сказали они мне, - два очень крупных недостатка. Во-пер-
вых, ты привык читать лекции студентам-математикам, которые, когда ты
им докажешь, что из А следует В, а из В следует С, способны сами зак-
лючить, что из А следует С. Здесь же слушателями были не студенты, а
несколько сот академиков, которые уже совершенно неспособны ни к каким
логическим умозаключениям. Им надо было просто объяснить, что из А вы-
текает С, сформулировав это настолько ясно, чтобы они, ничего не пони-
мая, могли бы это С в дальнейшем повторять. А ни о В, ни о каких-либо
доказательствах говорить не следовало.
Во-вторых, твоя логика такова: 6 раз по 7 - это 42, а кто утверждает,
что ответ иной - тот ошибается и его нельзя допускать к преподаванию.
Hо это полностью противоречит всей нашей идеологии: у нас одновременно
бывают верны оба взаимно исключающих вывода. В лавировании между ними
и состоит наша профессия. Поэтому мы боремся с такими, как ты, просто
из естественного чувства самосохранения, так что своим докладом, вос-
певающим математически точное знание, ты нажил себе в наших кругах
множество личных врагов".
Hесмотря на этот выговор, я продолжаю свою борьбу за торжество точных
наук. К сожалению, неожиданные трудности встречает даже издание текс-
тов моих докладов на эти темы (надеюсь, их все же издадут): "Hужна ли
в школе математика" (лекция на Всероссийской конференции "Математика и
общество. Математическое образование на рубеже веков" в Дубне в сен-
тябре 2000 года); "Американизация образования и борьба общества против
науки и культуры" (лекция на упомянутом заседании РАH, "Hаш двадцатый
век"); "Математические эпидемии ХХ века - опасность для человечества"
(доклад на конференции "Мистраль" при инаугурации форум-центра "Венец"
комплекса "Царев сад" в ноябре 2000 года). Hо другие математики обычно
более робки и не решаются отстаивать свои мнения, даже когда они не
сомневаются в своей правоте, а твердо уверены, что 6 раз по 7 - 42.

Опубликовано в "HГ" 17 января 2002 года

ИСТОРИЯ ДЖАЗА - ВМЕСТО КУРСА АЛГЕБРЫ

Владимир Игоревич, вы много времени уделяете преподавательской дея-
тельности. В связи с этим как вы оцениваете предлагаемую и проводящую-
ся уже фактически реформу образования в России - и в целом, и в части,
касающейся преподавания математики?

Древний римский сенат постановил: "Предками нашими установлено, чему
детей учить и в какие школы ходить; новшества же, творимые теперь воп-
реки обычаю и нраву предков, представляются неправильными и нежела-
тельными" (Гай Светоний Транквилл, "О риторах", в книге "Жизнь двенад-
цати Цезарей", М.: Правда, 1991, стр. 303).
Наша "реформа", как я прочел в хвалящих ее газетах, предназначена для
того, чтобы нашим школьникам стало так же приятно в школе, как амери-
канским: ничего не надо знать, ничего не надо учить, никаких экзаме-
нов. Мой племянник заканчивал среднюю школу в США и радостно заменил
себе курс алгебры курсом истории джаза. Статистика, опубликованная
Американским математическим обществом, показывает, что среди учителей
математики разделить число 1+1/2 на число 1/4 у них правильно может,
помнится, не то один процент, не то два процента всех учителей.
Наши школьники до сих пор понимают, почему 1/2+1/3 - совсем не 2/5,
как предпочитают складывать дроби американские студенты. Пуанкаре дав-
но уже объяснил, что есть только два способа учить дробям: разрезать,
хотя бы мысленно, либо яблоко, либо круглый пирог. Современные "рефор-
маторы", отвергая как яблоко, так и пирог, заменяют их либо компьюте-
рами, либо сверхабстрактными теориями вроде так называемого "кольца
Гротендика": "дробь - это класс эквивалентности пар целых чисел, счи-
таемых эквивалентными, если...".
Многочисленные проверки (например, международными олимпиадами) показы-
вают, что наша система образования, особенно в области математики, од-
на из лучших в мире, если не просто самая лучшая. Дело в том, что всю-
ду прошло "реформирование", отучающее думать и уничтожившее математи-
ческую (да и иную) культуру, а мы пока еще сохранили лучший уровень.
Боюсь, что и мы пойдем по этому всемирному пути уничтожения науки и
культуры. Штат Калифорния принял недавно постановление требовать при
поступлении в вузы умения делить 111 на 3 без компьютера (что было для
большинства поступающих неодолимым препятствием). Федеральное прави-
тельство обвинило калифорнийцев в антиконституционной чрезмерной тре-
бовательности. Надеюсь, что наша реформа не понизит математический
уровень наших школьников и студентов до американского, хотя объявлен-
ная цель реформирования именно такова.

Ваше отношение к ползучему внедрению тестовой системы контроля и оцен-
ки знаний учащихся?

Тесты вроде "чему равна сумма 2+3" кажутся безвредными, но в действи-
тельности даже они опасны. Французский министр науки и образования по-
лучил на этот вопрос от младшеклассника, хорошо проходившего тесты,
ответ: "3+2, так как сложение коммутативно" (а считать он не умел). В
Америке много лет школьники успешно справлялись с тестом "найти пло-
щадь прямоугольного треугольника с гипотенузой в 10 дюймов длиной и
опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов". Я надеюсь, что наши
школьники пока еще ясно видят, что таких треугольников не бывает, но
переход к тестам, вероятно, низведет их до американского уровня:
S=ah/2=10х6/2=30 квадратных дюймов.
Тесты могут помогать учить правила уличного движения или таблицу умно-
жения, но они воспитывают не умение мыслить, а скорее быстроту реакции
на стандартные раздражители. Если мы хотим воспитывать и учить килле-
ров, то, возможно, тестовая система и поможет. Науке, культуре и эле-
ментарному школьному образованию они, очевидно, противопоказаны. Экза-
мены (выработанные многотысячелетним китайским опытом как необходимое
средство для отбора государственных чиновников) никак нельзя заменить
тестами.
Вот еще образчик американского теста (для поступления в аспирантуру по
любой специальности): "Что ближе всего к паре "угол-градус" из пар
"молоко-пинта", "время-час", "площадь-квадратный дюйм". Объявленное
стандартное решение: "площадь-квадратный дюйм", так как квадратный
дюйм - минимальная мера площади, а градус - угла, в то время как час
делится на минуты, а пинта на миллилитры". Американский профессор,
блестяще справившийся с этим тестом, объяснил мне (думавшему, что от-
вет "время", так как и час и градус делятся на 60 минут), что спра-
виться с тестом можно, только если правильно представляешь себе сте-
пень идиотизма его составителей. Да минует наших детей чаша сих тес-
тов! (Подробный обзор проблемы имеется в статье Игоря Шарыгина в
"Школьном обозрении", 2000, # 1).

В 1998 году вы принимали участие в работе сессии Папской академии наук
в Ватикане. В числе прочих там обсуждалась такая, на мой взгляд, нес-
колько парадоксальная тема: нужно ли учить детей складывать дроби? К
какому выводу пришло высокое научное собрание и ваше мнение по этому
вопросу? Чем вообще была вызвана его постановка?

О дробях я уже рассказал выше. На этом заседании меня больше всего по-
разил своей разумностью сам папа Иоанн Павел II, который сделал доклад
о взаимодействии науки (которая, по его словам, одна имеет средства
для отыскания истины) и Церкви (которая, он думает, квалифицированнее
решает вопрос о том, в каком направлении использовать научные открытия
вроде атомных бомб). Папа Иоанн-Павел со мной говорил по-русски. Он
сказал мне, что мое предложение реабилитации Джордано Бруно принять
нельзя, так как Бруно в отличие от Галилея осужден за неверное теоло-
гическое утверждение, будто его учение о множественности обитаемых ми-
ров не противоречит Священному Писанию. "Вот, дескать, найдите инопла-
нетян - тогда теория Бруно будет подтверждена и вопрос о реабилитации
можно будет обсудить". Там же я узнал и об обвинении Галилея. Оказыва-
ется основное инкриминируемое ему утверждение состояло не в том, что
Земля вертится, а в том, что, по его словам, "теория Коперника не про-
тиворечит Библии". Галилей (в основном) реабилитирован, ибо справедли-
вость его утверждения теперь признана Ватиканом. Предложение реабили-
тировать Джордано Бруно я делал в ответ на предложение вступить в Ва-
тиканскую Академию, в которую я из-за этого отказа и не стал вступать.
Джордано Бруно был, говорят, другом Шекспира, который, по-видимому,
описал его в виде Просперо в "Буре" и в виде Бирона (или Байрона?) в
"Напрасных усилиях любви". Бруно некоторое время работал в Оксфорде и
вообще сменил много профессий (в том числе наборщика в типографии,
учителя и священника, последнее было для него роковым).

В одном из своих выступлений вы заявили: "Расцвет математики в уходя-
щем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образо-
вания обществом и правительствами большинства стран мира. Математика
сейчас, как и две тысячи лет назад, - первый кандидат на уничтожение".
С другой стороны, сегодня мы постоянно слышим чуть ли не заклинания о
том, что мир вступает в эпоху экономики, основанной на знаниях. Поня-
тие "инновационная модель развития" стало чуть ли не официальной докт-
риной многих государств. Но эта инновационная модель развития, нас-
колько я понимаю, просто невозможна без развития математики - доста-
точно только взглянуть на те невероятно сложные устройства, которые
стали уже неотъемлемой частью нашего быта. Как вы объясните этот пара-
докс?

Рубить сук, на котором сидишь, не новое занятие. Президент Российской
академии наук Юрий Сергеевич Осипов сказал как-то, что некоторые дума-
ют, что собирать яблоки станет гораздо удобнее, если яблоню срубить.
Бюрократы - естественные враги более квалифицированных специалистов,
деловой конкуренции с которыми они никак бы не выдержали. Уже Лев
Толстой явно говорил, что всякое правительство автоматически начинает
бороться против наук, и прежде всего против образования своего народа,
опасаясь понимания народом своих поступков.

Ваше мнение по поводу работы Московского центра независимого математи-
ческого образования и Независимого университета? В эти дни как раз от-
мечается его десятилетний юбилей...

И Независимый университет и центр процветают. Я имел удовольствие пре-
подавать в июле 2001 года в Дубне их студентам и школьникам (победите-
лям олимпиад) - уровень удивительно высокий, особенно если учесть ог-
ромные финансовые трудности. Преподаватели этих школ замечательно ква-
лифицированно выполняют практически бесплатно огромную работу, за ко-
торую им следовало бы (по мировым ценам) платить в сотни раз больше.
Неспособность нашего начальства осуществить это неизбежно приведет в
конце концов к вырождению российской науки, за которым последует и
техническая, и военная отсталость. Но тогда будет уже поздно исправ-
лять положение. В древних Афинах была замечательная научная культура,
в особенности математическая. А что теперь? Если имеющаяся у нас недо-
оценка науки и культуры обществом и правителями сохранится, то нас
ждет судьба греческой математики и науки вообще. Точно так же в век
Леонардо и Микеланджело, Рафаэля и Боттичелли итальянская живопись
достигла уровня неповторимого, несохранившегося после окончания эпохи
меценатов.

Как, по вашему мнению, следует учить математике в вузах в XXI веке?

По моему мнению, фундаментальным остается принцип, высказанный Эйн-
штейном в его "творческой автобиографии": "Кажется почти чудом, что
современные методы обучения еще не совсем удушили святую любознатель-
ность... Здоровое хищное животное отказалось бы от мясной пищи, если
бы его заставляли есть ударами бича, особенно если принудительно пред-
лагаемая пища не была им самим выбрана". От удушения любознательности
ударами бича следует перейти к поощрению самостоятельных открытий.
Главное в преподавании не зубрежка, а решение задач. В книге "Вы, ко-
нечно, шутите, мистер Фейнман" великий физик критикует современное
преподавание под видом физики в Бразилии, но его критика относится и к
математическому преподаванию в Европе.

В применении прежде всего к математике я подробно описал свои идеи о
том, как это осуществить, в статье "Математический тривиум" ("Успехи
математических наук", 1991, т. 46, в. 1, с. 225-232; ч. II: 1993, т.
48, в. 1, с. 211-222). Эта статья подобна минимуму Ландау, но для ма-
тематиков. Она была приготовлена первоначально для Физтеха. Но тамош-
ние математики заявили, что умеют решать только 10 задач из ста задач
этого тривиума, и потому отвергли его. Вторая часть статьи содержит
сравнение с заграничными экзаменами по математике. Другая моя статья
"О преподавании математики" ("Успехи математических наук", 1998, т.
53, # 1, с. 229-234) - анализирует в основном французскую систему об-
разования (недостатки которой заразны и угрожают и нам).
Мои американские коллеги объяснили мне, что предметы, которым они обу-
чают своих студентов, тем совершенно не нужны, неинтересны и никогда
не понадобятся. Единственная цель этого, по словам Ричарда Фейнмана,
"самораспространяющегося псевдообразования" - установить иерархию спо-
собностей, которая проявляется в чем угодно (хотя бы и при изучении
"эфиопских склонений"): тот, кто сумел в университете пробиться через
нелепые требования ненужных тестов, уже по одному этому научился прео-
долевать трудности, и следовательно, легче научится и своему нужному
делу, когда начнет работать.
Наше обучение традиционно следовало иному пути: сеять разумное, доб-
рое, вечное. Я надеюсь, что мы с этого пути не свернем.
P.S. Представленный выше текст - только часть, касающаяся системы ма-
тематического образования, из большого интервью, которое Владимир Иго-
ревич Арнольд дал нашей газете. Оставшуюся часть интервью мы планируем
опубликовать в одном из ближайших выпусков рубрики "Наука".

Опубликовано в Независимой газете от 27.12.2001

Ответы академика Владимира Игоревича Арнольда на вопросы профессора
Дмитрия Семеновича Шмерлинга.

1. Что происходит в мире с физико-математическими науками?

Физико-математические науки на пороге третьего тысячелетия переживают
необыкновенный расцвет. По моему мнению, особенно обнадеживает возрож-
дение глубокого взаимодействия между физикой и математикой, которые
преодолели нелепые попытки сверхабстрактных "бурбакистов" разделить
эти две важнейшие науки, единые в течение предшествовавших тысячеле-
тий. Прогресс человечества последних столетий в значительной мере опи-
рается на достижения этих наук. Я всегда считал, что математика -
часть физики и, как и физика, является экспериментальной наукой. Раз-
ница лишь в том, что в физике эксперименты стоят миллиарды долларов, а
в математике - единицы рублей.
2. Что происходит в мире с образованием по математике, физике, другим
дисциплинам?

Мне всегда вспоминаются последние слова Архимеда: "не тронь мои круги"
(обращенные к убивавшему его римскому солдату). Сейчас, на мой взгляд,
общества и правительства многих стран стремятся уничтожить науки и
культуру, а следовательно и образование, в том числе математическое.
Штат Калифорния недавно был вынужден начать требовать от поступающих в
свои университеты уметь делить число 111 на три без компьютера. Феде-
ральное правительство пыталось запретить это требование как неконсти-
туционное. Один сенатор заявил, что он не хочет никому позволить учить
кого-либо в своей стране чему-либо, чего он не понимает (например,
дробям). Американское математическое общество недавно опубликовало
статистику, согласно которой число учителей математики в средних шко-
лах США, умеющих делить число "полтора" на "четверть", составляет от
одного до двух процентов от количества всех учителей.
Французский министр образования и науки спросил младшеклассника
"сколько будет два плюс три". Тот ответил "три плюс два, так как сло-
жение коммутативно", как его учили в школе (а считать он не умел). Ми-
нистр пытался заменить такое преподавание нормальным - и его вскоре
сняли с поста, заодно реформировав и министерство.
У нас хотят путем "реформирования" школы довести знания наших школьни-
ков до американского или французского уровня. Но сегодня эта цель еще
не достигнута, так что наша система математического образования - одна
из лучших, если не самая лучшая, в мире.
Великий французский математик Пуанкаре говорил сотню лет назад, что
есть только два способа научить дробям: нужно разрезать либо яблоко,
либо круглый пирог. Иначе дети, как американские школьники, будут
складывать дроби по "простому правилу": 1/2+1/3=2/5.

3. Чего можно ожидать от Академии наук - РАН, университетов России в
ближайшие годы?

К сожалению, хороших признаков мало, хотя президент Академии и сказал
(совершенно справедливо), что "те, кто думает, что яблоки станет го-
раздо легче собирать, если яблоню срубить, глубоко заблуждаются". Ис-
тория свиньи под дубом не нова, да и Лев Николаевич Толстой давно уже
отмечал, что правительства автоматически борются против образования
своих народов, боясь, как бы люди не начали понимать истинные мотивы
их поступков.
Опубликованы сведения, что затраты России на математику за годы пе-
рестройки сократились со стоимости одного танка в год до стоимости од-
ной десятой танка в год. А по другим опубликованным сведениям расходы
России на науку сократились в 17 раз. Зарплата наших замечательных Ло-
моносовых в сотни раз меньше, чем платят за менее квалифицированную
работу во многих странах. Поэтому надежда нашей науки - гении аспи-
рантского возраста - нередко заражены вредной мечтой достойно прокор-
мить свои семьи, что и приводит их к отхожему промыслу в западных уни-
верситетах.
Там, кстати, хозяева беззастенчиво обирают их: отнимают научные ре-
зультаты; приписывают их достижения себе, платя гроши (все же во много
раз превосходящие российские зарплаты, так что и обираемые довольны).
Это современное рабовладение более распространено в практических нау-
ках: биологии, химии, медицинских исследованиях и т.п. Но и науки, и
искусства процветали в прошлом не всегда вместе с благосостоянием
стран: вспомним итальянское Возрождение в живописи и расцвет математи-
ки в Москве в ходе кровавой революции. Это позволяет с надеждой гля-
деть в будущее.
Я слышал, что наши социологи уже выявили трех "крупнейших математиков
России" (по мнению случайно опрашиваемых москвичей, это Березовский,
Мавроди и А.Т. Фоменко). Так вот, я надеюсь, что в будущем наукой в
России будут руководить не случайно опрашиваемые москвичи, а квалифи-
цированные специалисты мирового уровня, которых у нас еще немало.
Иногда бывает очень важна разумность одного человека (пример из нашей
истории - Александр II). И мы уже слышали разумные слова по телевизо-
ру. Между прочим, интересно, что в области математики выбор лучших в
России специалистов, проведенный одновременно и независимо Американс-
ким математическим обществом по поручению фонда Сороса и Российской
Академией Наук - оба дали почти совпадающие списки (в то время как для
других наук расхождения оказались огромными). Это вселяет надежду, что
наша Академия наук способна справиться с труднейшей задачей сохранения
математической школы в условиях позорной нищеты.

4. А что бы Вы посоветовали делать в области организации науки в Рос-
сии?

Как это ни странно, я опасаюсь демократизации, при которой решение
принимается наименее квалифицированным большинством. Американцы ут-
верждают, что падение уровня школьного образования у них произошло
именно таким демократическим путем. Большинство родителей хочет, чтобы
их дети в школе были счастливы. А большинство детей предпочитает без-
дельничать и ничему не учиться, не сдавать никаких экзаменов. Заканчи-
вая среднюю школу в США, мой племянник радостно заменил себе школьный
курс алгебры курсом истории джаза.
Последствия произошедшей в наших университетах смены квалифицированных
профессоров невежественными угрожают полным упадком нашей науке, а за-
тем и технике, и мощи страны. Эти явления подобны последствиям сессии
ВАСХНИЛ 1948 года, уничтожившей в стране сначала генетику, а потом и
сельское хозяйство.
Современная наука - это очень аристократический клуб. Кроме огромного
вступительного взноса, и отдельный ученый, и страна, должны вносить
большой ежегодный вклад в мировую науку. Потеря нашего заслуженно вы-
сокого места в мировой науке (особенно в математике) была бы чрезвы-
чайно опасным последствием растущего в России пренебрежения к интел-
лектуальной деятельности, прекращения публикации научных книг и журна-
лов, монополистических тенденций мафиозных групп, передающих английс-
кое издание российских математических журналов от Американского мате-
матического общества платящим больше фирмам, символом которых является
"Пентхауз". А в то же время Российский фонд фундаментальных исследова-
ний годами не платит российским издателям давно обещанные гранты: при
такой "организации" дела наша наука обречена, это надо менять!

5. Что делают математики для инноваций (внедрений) математики?

Вся наша цивилизация основана на прошлых достижениях наук. Запуск
спутников использует многотысячелетнюю теорию эллипсов, а также мате-
матические работы Кеплера и Ньютона. Томография - это медицинское при-
ложение теории рядов Фурье и "преобразования Радона".
Я предпочитаю говорить не о "внедрении", а об использовании научных
результатов. Л. Пастер, прикладное значение результатов которого -
например, прививок и пастеризации - общеизвестно, говорил, что "ника-
ких "прикладных наук" не было, нет и не будет: науки открывают новые
истины, а в приложениях эти открытия используются".
Открытые Максвеллом математические уравнения электромагнитного поля
послужили основой всей радиотехники (включая телевидение, радиолока-
цию, электронику и т.д.). Они окупили расходы человечества на матема-
тику на много столетий вперед. Развитие радиотехники использует совре-
менную теорию динамических систем, которая столь же успешно применяет-
ся и в экологии, и в экономике (объясняя, например, странные циклы,
вроде периодических наступлений шелкопряда, двулетних колебаний чис-
ленности горбуши и даже экономических кризисов, при помощи теорий,
разработанных первоначально ради небесной механики и ради исследования
электромагнитных колебаний и волн). Теория КАМ (Колмогорова - Арноль-
да - Мозера) используется и в небесной механике при исследовании ус-
тойчивости и неустойчивости планетных орбит, и в теории гироскопов, и
при управлении ускорителями пучков заряженных частиц, и при анализе
"магнитных поверхностей" для удержания плазмы в установках для проек-
тируемого управляемого термоядерного синтеза. Мои работы по теории ка-
устик и волновых фронтов возникли благодаря исследованиям перегрева
больших электронных схем, выполнявшихся мною для заработка по хоздого-
вору. Но теперь эти достижения (неожиданно связавшие каустики с теори-
ей групп Ли и названные физиками "квантовой теорией катастроф") ис-
пользуется также в оптике, в космологии (в теории крупномасштабной
структуры Вселенной) и в теории гравитационных линз. Между прочим,
первым "внедрением" теории каустик (тогда эмпирической) обычно считают
сожжение римского флота Архимедом в Сиракузах. Но Аристофан упоминает
(в "Облаках"), что Сократ внедрил каустику аналогичным образом в юри-
дическую практику за двести лет до Архимеда. Каустикой объясняется
также явление радуги, так что мои математические достижения в этой об-
ласти доставляют грандиозное обощение теории радуги, употребляемое те-
перь даже химиками (для наблюдения отдаленных электронных перестроек
атомов). Гаусс говорил, что "теория чисел - королева математики". Хар-
ди (в своей недавно наконец переведенной у нас книге "Апология матема-
тики") объясняет, что общего у теории чисел с королевой. По его сло-
вам, это общее - "полная бесполезность обеих". Но современная криптог-
рафия (наука о шифровании секретных сообщений) целиком основана на те-
ории чисел. Имеется и обратное влияние: создатель современной алгебры
Виет, был шифровальщиком французского короля, Генриха IV. Он обозначал
редкими буквами (x,y,z) еще нерасшифрованные буквы кода противника,
поэтому мы и сейчас так обозначаем неизвестные. Между прочим, при рас-
шифровке генетического кода, принцип которого был открыт русским физи-
ком Г.Гамовым, были использованы вычислительные мощности первого отде-
ла Лос-Аламоса (американского Арзамаса). Для этого биологические дан-
ные подсунули дешифровальщикам под видом "нового японского кода", поп-
росив помочь его дешифровать, что те и сделали. Кстати, одессит Гамов,
книги которого наконец издали по-русски, сделал, на мой взгляд, не ме-
нее трех открытий нобелевского уровня: туннельную теорию альфа-распада
радиоактивных веществ, открытие принципа генетического кода и, вдоба-
вок, теорию "большого взрыва" на раннем этапе развития Вселенной.
Ни одной нобелевской премии он не получил, я думаю, отчасти и в силу
своего российского происхождения. Первую нобелевскую премию по литера-
туре получил отнюдь не Л. Толстой, а Сюлли-Прудон. Что касается целей
"внедрения", то А.П. Александров, будучи президентом АН, говорил, что
он всю жизнь занимался двумя приложениями атомной энергии: военным и
мирным, но теперь, вот, появилось третье: использование атомной энер-
гии в личных целях.
К сожалению, внедрение чаще, чем сами научные исследования, сопровож-
дается научной недобросовестностью, приводящей порой к таким позорящим
российскую науку антинаучным теориям, как, например, "математический"
пересмотр истории (подробно разобранный в интересной книге "История и
антиистория", издательство "Языки русской культуры", М., 2000).
Расскажу еще один пример антинаучного "внедрения". Была разработана
компьютерная технология поиска полезных ископаемых. Для внедрения наш-
ли золото в распадке, где геологи его не ожидали. При обсуждении ре-
зультата в присуждающем престижные премии Комитете один квалифициро-
ванный математик заявил, что он сомневается, чтобы упомянутые матема-
тические достижения могли помочь найти золото. Премии не дали. Вскоре
важный босс похвалил этого квалифицированного математика (кажется, к
тому времени уже умершего): "как он был умен, все понял!" Кто-то из
членов Комитета спросил: "что, теоремы были неверные?" - "Нет, - отве-
тил босс, - какие тут теоремы? Золото оказалось подкинутым!"
Компьютеризация - это сплошное внедрение, но за "сайтами" и "файлами"
следуют баксы и киллеры. Совесть важнее внедрений. К сожалению, агрес-
сивно-монополистические мафиози компьютерщиков мира, хотят постепенно
уничтожить всю математическую культуру и образование: сначала прекра-
тить издание журналов и книг, потом экзамены...

6. Расскажите о Московском Центре Непрерывного Математического Образо-
вания, Независимом Университете, если можно.

Московский Независимый Университет и Центр Непрерывного Математическо-
го Образования были созданы Московским комитетом образования, префек-
турой Центрального административного округа г. Москвы, отделением ма-
тематики Российской Академии Наук, Московским государственным универ-
ситетом им. М.В. Ломоносова и математическим институтом им. В.А. Стек-
лова Российской Академии Наук при поддержке Московского математическо-
го общества (соответственно, десять и пять лет назад: в этом году
празднуются два юбилея).
Эти организации призваны корректировать ненормальную ситуацию с мате-
матическими школами в МГУ и в других ВУЗах, где сложились своеобразные
группы (я бы сказал, мафии) невежд, не пропускающих вперед молодежь.
Так, что в Москве оказалось немало способных молодых математиков, ко-
торым негде было преподавать свои знания и умения новым поколениям:
студентам, аспирантам... Целые новые направления науки отставали у нас
от мирового уровня из-за того, что ведущие места были заняты лицами
либо просто устаревшими, либо невежественными и выдвинувшимися не бла-
годаря своим научным заслугам, а по другим причинам.
Новые учреждения, о которых идет речь, решили эту трудную проблему.
Высококвалифицированные молодые преподаватели чрезвычайно успешно обу-
чают тут (практически задаром: зарплаты тут мизерные) и студентов, и
талантливых школьников. В качестве примера, демонстрирующего успеш-
ность этой системы "непрерывного образования" (минимизирующей разность
возрастов обучающего и обучаемого), укажу на неизменно высокий уровень
наших успехов на международных математических, физических и т.п. олим-
пиадах ("двадцать золотых медалей на 24 российских участников"). Для
сравнения: Франция, со своим традиционно высоким уровнем школьного об-
разования, скатилась сейчас на примерно 60-е место из примерно двухсот
стран.

7. Как по Вашему мнению, следует содействовать развитию образования в
России? Что может власть, ученые, преподаватели, общество?

Если как следует кормить учителей (да и учеников), то все будет в по-
рядке. Российская традиция всегда поддерживала высокое уважение к нау-
ке и знаниям. Это и надо продолжать культивировать. А то авторитет
всех интеллектуальных профессий падает перед наступлением чистогана.
На летней школе этого года в Дубне старшеклассники спросили меня: "мы
тут с удовольствием решаем задачи, слушаем интересные лекции, занима-
емся математикой. Но, скажите, перспективна ли специальность? Сможем
ли мы, благодаря ей, зарабатывать больше, чем наши одноклассники, не-
которые из которых сделаются гангстерами-рэкетирами, а некоторые -
банкирами?" Десять лет назад школьники, если так и думали, спросить об
этом стеснялись. Я не думаю, что бандитские профессии перспективнее
математических. Но важно, чтобы это мое мнение разделялось страной, в
том числе и ее руководством. А ведь сейчас общественное мнение нередко
склоняется к тому, что "перспективнее" всего большой доход. А такие
понятия, как совесть, выбрасываются новыми поколениями на свалку.

8. Как складывается судьба российских математиков за рубежом?

Мне приходится иногда участвовать в работе комиссий, отбирающих одного
из пары сотен кандидатов на пост профессора в Университете какой-либо
из Западных стран (чаще всего - во Франции). Эти комиссии, по-моему,
часто выбирают далеко не лучших. Вот как мне это объяснили коллеги.
"Ты прав, конечно, указывая, чьи научные достижения лучше. Но если бы
мы все, выбирали того кандидата, научные достижения которого выше, то
нам бы пришлось на все посты выбирать исключительно русских кандида-
тов - настолько они сильнее!" Я заметил, что некоторые члены комиссий
сознательно голосуют за слабейших кандидатов, зная, кто чего стоит.
Они мне объяснили: "через пару лет этот новый профессор будет соперни-
ком предыдущему, который и голосует против сильнейшего соперника прос-
то из страха и ради самосохранения".
Несмотря на все это, очень многие выпускники Московской математической
школы достигают на Западе заслуженно высокой профессиональной оценки
(зарабатывая, все же меньше своих жен, работающих кто дворником, кто
программистом и т.п.) Я являюсь членом "Национального Комитета по Нау-
ке" республики Франции и был на недавнем его заседании, посвященном
плану дележа денег, обещанных парламентом на следующий год (на науку
планируется потратить огромный, по российским меркам, процент нацио-
нального дохода: государственные вложения в науку около 6% этого дохо-
да). Выступавшие - крупнейшие представители всех наук Франции - дружно
говорили: "наука у нас уже есть, от Лапласа и Пастера, до нас самих.
Поэтому тратить деньги на новые научные исследования не надо. Дешевле
купить готовые рецепты у Америки, а только производить лекарства по
ним!" В конце все же решили подкармливать кое-какие науки (если я пра-
вильно запомнил, то борьбу со СПИДом, психоанализ и социологию). Меня
они включили также в свой "Комитет по Борьбе за Защиту Наследства
Французской Науки от иностранцев" - вроде нашей "борьбы с космополи-
тизмом" сороковых-пятидесятых годов. У французов господствует мнение,
что все научные открытия и изобретения всегда создавались только ими.
В центре Парижа имеется мемориальная доска "французскому изобретателю
"радио", а в политехническом музее - "первый" самолет с мотором (паро-
вым). Недавно я прочитал в физическом французском журнале статью, до-
казывающую, что вся математическая слава Ньютона - дутая во-первых, и
создана французом во-вторых (Аруэтом, более известным под своим псев-
донимом: Вольтер). Утверждают, что Вольтер прославил Ньютона ради раз-
венчания Лейбница, который был приверженцем христианства (и даже опуб-
ликовал математическое бурбакистское доказательство Бытия Божия).
Вольтер, из-за своего атеизма должен был бороться против Лейбница.
Атеизм же Вольтера объясняется в этой статье его антисемитским воспи-
танием в иезуитском колледже Людовика Великого (ведь Иисус был евреем,
поэтому Вольтер и боролся с христианством!) Я в работах этого антикос-
мополитического комитета не участвовал. Но на судьбу российских ученых
заграницей подобные ксенофобские тенденции могут влиять резко отрица-
тельно.

9. Что бы Вы посоветовали школьнику,студенту, специалисту, желающему
углубить и расширить математические познания?

Прежде всего я рекомендовал бы читать хорошие математические книги, но
особенно - решать задачи. Вот маленький список рекомендуемых мною книг
для начинающих математиков:
* "Числа и фигуры" Радемахера и Теплица,
* "Наглядная геометрия" Гильберта и Кон-Фоссена,
* "Что такое математика" Куранта и Роббинса,
* "Теория Морса" Милнора,
* "Арифметика" Серра,
* "Топология" Александрова и Ефремовича.
Что касается задач, то я однажды выбрал (по заказу тогдашнего ректора
МФТИ, Н.В. Карлова, и вдохновляясь "минимумом Ландау" для физиков)
сотню стандартных вопросов, охватывающих, на мой взгляд, все области
начальной математики. Эти вопросы не трудные, но они воспитывают уме-
ние думать. Позже они были опубликованы под названием "математический
тривиум" (Успехи математических наук, 1991, т.6, N1, стр.25-232). Вот
пара образчиков:
1. Дан график функции. Нарисовать графики ее производной и ее интегра-
ла.
2. Через центр куба провести прямую так, чтобы сумма квадратов рассто-
яний от его вершин до этой прямой была минимальной.
Этот "тривиум" я писал для студентов ФИЗТЕХ'а, в качестве своеобразной
программы двухлетнего курса математики. Но тамошние профессора не дали
провести такую реформу преподавания математики, так как они определи-
ли, что каждый из них умеет решать в среднем лишь около 10% моих задач
для начинающих студентов.
Французская газета XIX века писала, что "лучшие математики, подобно
Лапласу - это своеобразные автоматы, немедленно все вычисляющие по го-
товым формулам". К сожалению, подобное заблуждение устойчиво держится
и у нас. На самом деле, главное в математике, как и в других науках, -
не аппеляция к готовым формулам, а самостоятельное мышление, которому
научаешься только при решении задач, начиная с "волка, козы и капус-
ты". Задач для начинающих масса. Вот одна задача из старых олимпиадных
сборников. Авиастроительная фирма "Боинг" сейчас использует ее для от-
бора себе сотрудников (скажем из числа окончивших университет).
* В мешке 100 кг огурцов. Огурец на 99% состоит из воды. Огурцы подсу-
шили, и теперь вода составляет уже только 98% их веса. Сколько теперь
весят огурцы?
Американские студенты (да и профессора) обычно отвечают "97 кг" (или
что-нибудь в этом роде). Выпускники Московской школы (скажем, из Неза-
висимого Университета или из Центра Непрерывного Математического Обра-
зования) немедленно дают правильное решение (хотя ответ и неправдопо-
добен: 50 кг).

10. Что Вы думаете о возможности распространения математического моде-
лирования в экономике социально-политических науках, вообще "науках о
поведении" и т.п.?

Математическое моделирование - мощный метод. Не нужно только низводить
его до уровня умножения многозначных чисел. Обычно модель тем полез-
нее, чем она проще и гибче. Подробно я об этом рассказал в докладе
1997 года "Научно-практическому аналитическому семинару" администрации
Президента России. Доклад позже издан Центром Непрерывного Математи-
ческого Образования ("Жесткие и мягкие математические модели", МЦНМО,
М., 2000, 32 стр.)
Там обсуждается, в частности, почему оптимизация частот - путь к ка-
тастрофе. Указаны также причины принципиальной неустойчивости многос-
тупенчатого управления (в отсутствие коррумпированности управляющих
лиц и организаций). Обсуждаются там и выводы простейших моделей пе-
рестройки, объясняющих, например, почему непрерывное движение в сторо-
ну лучшего состояния обычно немедленно приводит к ухудшению (это отно-
сится и к школьной реформе). Но надо иметь в виду, что математическое
моделирование всегда чревато опасностью артефактов, когда длинные вы-
числения по сложным формулам дают результаты, верные только математи-
чески, но не имеющие отношения к реальности (вследствие незамеченного
превышения моделью точности исходных предпосылок).
Хотя и социологические, и экономические примеры подобных ошибок хорошо
известны, объяснять их было бы слишком долго, поэтому я приведу ес-
тественно-научный пример, также вызвавший в свое время массу споров.
Речь идет о возможности долгосрочного динамического компьютерного
прогноза погоды (на много недель вперед), основанного на математичес-
ком моделировании метеорологических явлений в атмосфере. Беда здесь в
том, что малое изменение начального состояния атмосферы приводит к ог-
ромному изменению будущей погоды. Всего за пару месяцев это изменение
нарастает примерно в 10^5 раз (в сто тысяч раз!) И, так как начальное
состояние заведомо известно лишь с некоторой погрешностью (изменение
скоростей молекул воздуха, сохраняющее средние по кубическим километ-
рам, не будет, скорее всего, зарегистрировано при измерении начального
состояния), то непредсказуемые изменения будущей погоды, вызванные
этой погрешностью, скажутся через пару месяцев в масштабах порядка
10^5 км, т.е. всего Земного шара. Из-за этого нарастания возмущений
долговременный динамический прогноз погоды всегда останется невозмож-
ным, как бы ни совершенствовались компьютеры и вычислительные методы.
Опасность компьютеризации, приводящей к безграмотности, могу проил-
люстрировать таким недавним примером. Цитируя в Internetе мое приве-
денное выше высказывание о нарастании возмущений, безграмотные компь-
ютерщики заменили мои слова "примерно в 10^5" на "примерно в 105 раз".
Здесь не хватает не только математической культуры, но и общечелове-
ческой. Культурный человек никогда не скажет "примерно 105" : если уж
"примерно", то "сто", а не 105! У Платона, в диалоге "Федр", изобрета-
тель первого фонетического алфавита, Тот, говорит верховному богу,
Амону, что возможность все записывать сделает людей более умными, так
как их ум не будет более перегружен запоминанием информации, и его
можно будет использовать для размышлений. Но Амон сомневается в том,
что грамотность сделает людей умнее. Напротив, считает он, рассчитывая
на свои записи, они вовсе перестанут думать. Ни компьютеров, ни теле-
визоров, тогда не было, так что об их влиянии ни Амон, ни Платон, не
сказали.
Возвращаясь к математическому моделированию вообще, упомяну классичес-
кое высказывание Нильса Бора: "когда кто плохо понимает явления, он
пишет длинные формулы". Полезно еще одно высказывание Бора (в ответ на
вопрос, заданный ему на празднике физиков в Москве: "Почему у Вас в
Копенгагене замечательная школа физиков, а ни в Лондоне, ни в Париже
ничего похожего нет?" Ответ Бора, в переводе Е.М. Лифшица, был: "Мы
никогда не боимся показать ученикам насколько они глупы!" Но Игорь Ев-
геньевич Тамм, лучше понимавший трудную дикцию Бора, поправил: "Не
насколько они глупы, а насколько мы глупы: видимо, в этом и состоит
разница между школами Бора и Ландау". Я всегда стараюсь следовать ре-
цепту Бора, даже и в этой сегодняшней статье.

Частично опубликовано в газете "Московские новости" N42 16--22 октября
2001 года на стр. 19 под названием "Считаются не только деньги"

Нужна ли в школе математика?

(доклад на Всероссийской конференции "Математика и общество. Математи-
ческое образование на рубеже веков." в Дубне 21 сентября 2000 года)
Брошюра с этим текстом опубликована (М., МЦНМО, 2001)

Я собираюсь рассказать сегодня о довольно грустных обстоятельствах,
связанных с положением математического образования во всем мире. Боль-
ше всего я знаю положение, естественно, в России, а также во Франции и
в Соединенных Штатах. Но процессы, о которых я буду говорить, примерно
одновременно идут во всем мире. Они несколько невероятны, но то, что я
буду рассказывать, как бы это ни было невероятно, - чистая правда. Я
бы назвал основной процесс, который сейчас я замечаю, который сейчас
идет и который внушает главную тревогу, - я бы назвал этот процесс
американизацией. Американизация состоит в том, что население земного
шара, те миллиарды, которые живут на земном шаре, все хотят, чтобы у
них в каждом доме был ``Макдоналдс'', ну и, соответственно, хотят,
чтобы у них была такая ``культура'', как в Америке. Но что такое аме-
риканская ``культура''? Я, пожалуй, расскажу пример, чтобы не быть го-
лословным. В Гарварде я видел студентку, которая специализировалась по
европейскому искусству, на уроках французского языка. Там надо было
говорить по-французски, и преподавательница ее спрашивает по-французс-
ки: ``А вы-то в Европе были?'' ``Была.'' ``Во Францию заезжали?''
``Заезжала.'' ``Париж видели?'' ``Видела.'' ``А видели ли вы там
Нотр-Дам де Пари (т. е. собор Парижской Богоматери)?'' ``Видела.''
``Вам понравилось?'' ``Нет!'' ``Почему же так?'' ``Он такой старый!''
Американская точка зрения состоит в том, что все старое надо выбрасы-
вать. Если машина старая, ее надо заменить на новую, собор Парижской
Богоматери надо сломать, ну и так далее. Вот и математику надо устра-
нить из образования. Приведу еще один пример. Я прочитал недавно
текст, который принадлежит Томасу Джефферсону, третьему президенту Со-
единенных Штатов, автору Декларации независимости, одному из ``отцов
нации''. И он по поводу математического образования уже высказывался в
своих ``Письмах из Джорджии''. Он говорит следующее (и это высказыва-
ние, на мой взгляд, является определяющим для математического образо-
вания в Соединенных Штатах и сегодня): `` ни один черный никогда ни
поймет ни слова в Евклиде, и ни одного учителя (или учебника), который
будет ему объяснять евклидову геометрию, он никогда не поймет''. Это
значит, что всю геометрию надо из школьного образования исключить, по-
тому что демократическая эволюция должна сделать все понятным мень-
шинствам; ``кому нужна она, эта математика...''
Французский пример. Министр образования и науки Франции рассказывал
(на заседании парижского собрания математиков во Дворце открытий) до-
воды, которые показывали, что обучение математике в школе надо прекра-
тить вообще. Это довольно разумный человек, Клод Аллегрэ, геофизик,
занимается плаванием материков, применяет математику, теорию динами-
ческих систем. Его довод был такой. Французского школьника, мальчика
лет восьми, спросили, сколько будет 2 + 3. Он был отличник по матема-
тике, но считать не умел, потому что там так учат математике. Он не
знал, что это будет пять, но он ответил, как отличник, так, чтобы ему
поставили пятерку: `` 2 + 3 будет 3 + 2, потому что сложение коммута-
тивно''. Французское обучение все устроено по этой схеме. Они учат та-
кие вот вещи и в результате ничего не знают. И министр считает, что,
чем так учить, лучше не учить вообще. Когда нужно будет что-нибудь по
делу, когда понадобится, выучат сами, а обучение этой псевдонауке есть
лишняя потеря времени. Вот французская точка зрения на сегодняшний
день. Очень грустно, но это так.
Во Франции сейчас тоже происходит американизация. В частности, я полу-
чил письмо из их Академии наук в апреле, что они пересматривают устав
Академии. Один из важных пунктов, как надо изменить устав Академии на-
ук Франции, состоял в том, что нужно, чтобы не было членкоров, всех
членкоров считать академиками, и в новых выборах в членкоры не изби-
рать никого, а только академиков. И дальше - двадцать страниц обосно-
вания такого теологического характера, говорится, что Франция, как
старшая дочь католической церкви, и так далее... Там не обязательно
религиозные обоснования, там всякие, но я ничего не мог понять, мне
было очень трудно, пока я не дошел до последней строчки на какой-то
далекой странице, и тогда я понял, что я эту строчку уже слышал много
раз за те двадцать лет, что я слышу это обсуждение. Вероятно, Франция
идет впереди, но и мы тоже дойдем до этого, и этот довод, и это рас-
суждение - все это будет встречаться и в нашей Российской академии на-
ук, я полагаю. Довод, который, на мой взгляд, является единственным
значимым во всех этих обоснованиях и который, по-видимому, является
основным для них, такой: в Национальной академии наук США в Вашингтоне
членкоров нет.
Следующий проект состоял в том, что современное человечество сталкива-
ется с большим количеством проблем, а академии наук национальные, в
каждой стране своя академия, которая решает свои проблемы. Это пережи-
ток, это нехорошо. Нужно создать супербюрократическую организацию, су-
перакадемию, которая будет всемирной и которой отношение к обычным
академиям наук будет таким, как отношение префекта полиции к обычным
рядовым полицейским. Она будет решать, каковы основные проблемы чело-
вечества, например, глобальное потепление атмосферы, мальтузианская
проблема перенаселения, озоновые дыры, ну и другие, перечислено нес-
колько десятков таких основных, фундаментальных проблем: автомобилей
слишком много развелось, и они свинцом загрязняют воздух и так далее,
я уже не помню весь этот список. Так вот, надо принять решение, какие
проблемы первоочередные, чтобы человечество сохранилось, какая страна
какую проблему будет решать. И дальше в этом списке было написано, ка-
кую проблему берет на себя старшая дочь католической церкви Франция,
которая предлагает, и какая проблема, и какой французский метод реше-
ния этой проблемы. Вот эта проблема прямо связана с темой нашей сегод-
няшней конференции. Эта проблема такова: во всем мире катастрофически
падает уровень образованности. Новое поколение детей приходит, которые
ничего не знают: ни таблицы умножения, ни евклидовой геометрии - ниче-
го не знают, не понимают и не хотят знать. Они только хотят нажимать
на кнопки компьютера, и больше ничего. Что делать, как тут быть? Ми-
нистрами всюду, во всех странах, становятся люди, которые ничего не
понимают, и ясное дело, что им нужно уничтожать всякую цивилизацию и
культуру, просто для того, чтобы выжить, чтобы среди более высокого по
культурному уровню окружения удержаться, этим людям надо уничтожать
всякую культуру и всякое образование. Как это сделать? (Я говорю про
Францию.) Итак, французский проект: как исправить положение с образо-
ванием. Французская академия наук предлагает: надо образовать женщин.
Ну, это опять американская идея - это феминизм, который имеется и во
Франции, имеется, наверное, и у нас. Можно предвидеть, что и у нас
скоро будет принят такой же проект.
Я хочу здесь еще процитировать одно высказывание, которое я недавно
прочитал в изданной только что в Ижевске книжке Харди ``Апология мате-
матика''. Ужасная книжка совершенно, кошмарно безграмотный человек,
который пишет, в частности, следующие вещи. Он пишет похвалу Гауссу,
что Гаусс очень много занимался теорией чисел и что теория чисел спра-
ведливо называется королевой математики (я бы сказал, царицей матема-
тики даже, но он, по-моему, говорит ``королевой''). Харди объясняет,
почему теория чисел является королевой математики. Вот это объяснение
Харди, которое недавно повторил Юрий Иванович Манин, в некотором иска-
женном слегка виде, но почти то же самое говорил. Замечательное объяс-
нение Харди таково: теория чисел является, он говорит, королевой мате-
матики вследствие своей полной бесполезности. Но у Юрия Ивановича нем-
ножко не так, он объясняет другое: что математика вся вообще является
чрезвычайно полезной наукой, не потому, что, как говорят некоторые -
это я на самом деле, - что математика способствует прогрессу техники,
человечества и так далее, нет; потому, что она препятствует этому
прогрессу, вот в чем ее заслуга, вот основная проблема современной на-
уки - препятствовать прогрессу, и математика в первую очередь это и
делает, потому что, если бы ферматисты, вместо того чтобы доказывать
теорему Ферма, строили самолеты, автомобили, они бы гораздо больше
вреда причинили. А так математика отвлекает, отвлекает на какие-то
глупые, никому не нужные задачи, и тогда все в порядке. У Харди, между
прочим, эта идея тоже присутствует, в несколько ином виде - порази-
тельно, насколько можно быть наивным в XX веке! У Харди написано так:
страшной привлекательностью математики, особенно по сравнению с физи-
кой и химией, является то, что она ``абсолютно непригодна ни для ка-
ких военных применений''. У нас сейчас, конечно, другие точки зрения,
может быть, Юрий Иванович и согласен с ним, но я нет. Что касается во-
енных, то они тоже имеют совершенно другие точки зрения, и надо ска-
зать, что Харди каким-то образом умудрялся работать с Литтлвудом, ко-
торый занимался много прикладной математикой, и прилагал ее к военному
делу всерьез, и Литтлвуд, конечно, никогда бы не подписался под такими
глупыми словами. Манин утверждает, что математика - своего рода линг-
вистика с несколько расширенным списком грамматических правил, включа-
ющим, скажем, что 1 + 2 = 3, а обучение математике - обучение очковти-
рательству, так как тождественными преобразованиями, которыми только и
занимаются математики, открыть ничего нового нельзя.
Наиболее полным современным воплощением идеи бесполезности математики
является деятельность секты бурбакистов. В действительности принципы
Бурбаки были сформулированы частью Монтенем, частью Декартом в
XVI-XVII веке. Монтень сформулировал два принципа всей французской на-
уки, которыми французская наука отличается от наук других стран и ко-
торыми она до сих пор руководствуется. Первый принцип. Для того чтобы
преуспеть, французский ученый должен в своих публикациях придерживать-
ся такого правила: ни одно слово из того, что он публикует, не должно
быть никому понятно, потому что, если что-нибудь будет кому-нибудь по-
нятно, то все скажут, что это было и раньше известно, так что ты ниче-
го не открыл. Поэтому надо писать так, чтобы было непонятно. Монтень
ссылается на Тацита, указывавшего, что ``ум человеческий склонен ве-
рить непонятному''. Декарт был его учеником в этом смысле, а за ним и
Бурбаки пошел. Изменить все тексты так, чтобы сделать их полностью не-
доступными - это первый принцип.
Приведу несколько доводов Монтеня, которыми он обосновывает необходи-
мость писать непонятно (курсив везде мой):
1. ``Я ненавижу ученость даже больше, чем полное невежество.'' (``Опы-
ты'', кн. III, гл. VIII)
2. ``Кто сидит верхом на эпицикле Меркурия - мне кажется, что он выры-
вает мне зуб. Ведь они сами не знают ни причин движения восьмой небес-
ной сферы, ни времени паводка на Ниле.'' (кн. II, гл. XVII)
3. ``Первопричины явлений понять было бы проще, но я не умею их объяс-
нять. К простоте я не стремлюсь. Мои рекомендации - самые вульгар-
ные.'' (кн. II, гл. XVII)
4. ``Науки доставляют слишком тонкие и искусственные теории. Когда я
пишу, то стараюсь забыть все, написанное в книгах, чтобы эти воспоми-
нания не испортили форму моего сочинения.'' (кн. III, гл. V)
5. ``Наш обычный понятный язык в практической жизни бесполезен, так
как он становится непонятным и полным противоречий при попытке приме-
нить его к формулировке контракта или завещания.'' (кн. III, гл. XIII)
6. Квинтилиан (Inst.Orat., X, 3) давно уже заметил, что ``трудность
понимания создается доктринами''. (кн. III, гл. XIII) А Монтень именно
доктрины хотел внушать читателю.
7. Согласно Сенеке (Epist., 89), ``всякий предмет, разделенный на час-
ти, подобные пылинкам, становится темным и непонятным'' (кн. III,
гл. XIII). Сенека же заметил (Epist., 118), что ``Miramur ex interval-
lo fallentia'', (т. е. ``восхищает нас именно обманчивое, вследствие
своей удаленности''). (кн. III, гл. XI) Чтобы вызвать восхищение, не-
обходимо напустить туману в свои писания.
8. ``Главный вывод всех моих исследований - убеждение в общечеловечес-
кой глупости, самой надежной черте всех школ мира.'' (кн. III, гл. XI-
II) Этот принцип Монтеня применим и к его школе. Понятно, что описы-
вать достижения этих школ ясно Монтень не хотел. Паскаль отметил, что
понимать то правильное, что есть у Монтеня, трудно. Энциклопедия Бри-
танника (1897) пишет, что Монтень не был понят, так как этот юморист и
сатирик обращался к читателям, лишенным чувства юмора. Опыт Монтеня
заразителен. Он писал: ``именно среди ученых часто видим умственно
убогих людей'' (кн. III, гл. VIII) и ``ученость может быть полезной
для кармана, но душе она редко что дает''. ``Наука - дело нелегкое,
оно часто сокрушает.''
Второй принцип Монтеня состоит в том, чтобы полностью избегать чужой
терминологии. Вся терминология должна быть твоя, собственная. Ты дол-
жен вводить новые понятия, ты можешь ссылаться на свои предыдущие ра-
боты, где были введены эти термины, чтобы нельзя было читать твои сле-
дующие работы, не выучив наизусть предыдущие. И никаких работ других
авторов цитировать не следует, особенно же категорически запрещается
цитировать иностранцев. Вот этот принцип, которого придерживаются до
сих пор.
В апреле французское министерство по науке, а также и органы безопас-
ности, прислали мне приглашение принять участие в работе их комиссии,
которая очень важна (и потому что они знают, что я занят, если я не
смогу прийти, то чтобы ученика прислал, который бы мое мнение там
представил, потому что им очень важно знать мое мнение), вот какая ко-
миссия. Комиссия по защите наследства французской науки от иностран-
цев.
(Смех в зале.)
Борьба с космополитизмом, которая была у нас в конце сороковых годов,
дошла до Франции, но почему-то только сейчас. Хотя у них, конечно,
очень много всякой ксенофобии и того, чтобы найти всюду, что открыл
любую вещь обязательно француз, например, у них есть свой изобретатель
радио - ни Попов, ни Маркони не признается - у них есть свой памятник
около Люксембургского вокзала в Париже человеку, который ``изобрел ра-
диолокацию'', и так далее - все сделали французы. Между прочим, я еще
хочу процитировать одного француза, высказывание которого мне, наобо-
рот, очень нравится, это Пастер. Пастер высказался по поводу науки во-
обще и сделал замечательное высказывание, на которое мне хочется сос-
латься, потому что оно, по-моему, и для нас очень важно. Высказывание
Пастера таково: ``Никогда не было, нет и не будет никакой прикладной
науки. Существуют науки и их приложения''. Имеется научное открытие, а
потом оно прилагается к чему-нибудь - это да, а прикладная математика,
прикладная физика, прикладная химия, прикладная биология - все это об-
ман, для того чтобы выкачивать деньги из налогоплательщиков или биз-
несменов - больше ничего. Нет прикладной науки, есть одна наука -
просто обычная. Между прочим, эту идею можно встретить и у Маяковско-
го, который говорил, что человек, который открыл, что дважды два - че-
тыре, был великим математиком, даже если он считал при этом окурки. А
тот, кто теперь по этой же самой формуле считает гораздо большие пред-
меты, например локомотивы, совершенно не математик. Вот что такое
прикладная математика. Нет никакой прикладной математики, учить
``прикладной математике'' - обман. Есть просто математика, есть наука,
и в этой науке есть таблица умножения, например, что дважды два - че-
тыре, есть евклидова геометрия, всему этому нужно учить обязательно.
Если мы перестанем - к чему ведет эта американизация или бурбакиза-
ция - перестанем учить, тогда что же от этого произойдет? Произойдет
один Чернобыль за другим, и, соответственно, будут тонуть подводные
лодки, и, соответственно, башни вроде Пизанской и Останкинской будут
падать... Я недавно прочитал в Вестнике Академии наук, что Москву ждет
катастрофа, подобная бывшей в Ульяновске, что, может быть, даже в бли-
жайшую зиму просто миллион человек должен умереть от холода, потому
что не справятся системы отопления, тепловые электростанции, отопление
Москвы не приспособлено, не готово к тому, чтобы выдержать холода, ко-
торые являются типичными для нашего климата. Если наука будет прекра-
щена, то тогда все вот эти несчастья апокалиптического характера сва-
лятся на все человечество, в том числе и на Россию. По американским
данным, на сегодняшний день некоторые страны, в том числе Россия и Ки-
тай, остаются оазисом, в котором еще имеется какая-то надежда на то,
что эти процессы деградации образования идут медленнее. Они определи-
ли, что в Америке 80% школьных учителей математики не имеют никакого
понятия о дробях: не могут сложить половину и треть, не знают даже,
что больше, половина или треть, ничего не понимают. Не учили. А у
школьников знания еще хуже. В то время как в Японии, в Китае и даже в
Корее положение гораздо лучше. Эти школьники прекрасно понимают, что
такое половина, что такое треть, могут сложить половину с третью...
Мы, как всегда, отстаем от передового человечества. Уничтожение науки,
уничтожение культуры происходит повсюду, но у нас медленнее, чем в
других местах, а это значит, что еще есть некоторая надежда, что мы
сохраним свой традиционный уровень культуры дольше, чем так называемые
более передовые страны.

* * *

Джордж Малати, профессор университета в Финляндии. Я очень рад слушать
Ваш доклад, и я могу сказать откровено, от моего сердца, что я приехал
сюда, специально чтобы поддержать ваши идеи, потому что, если культура
падает, это очень трудно остановить обратно, на Западе мы знаем хоро-
шо, что и вам очень легко разбить культуру. А сейчас мы знаем, что,
естественно, логично, очень трудно остановить обратно. Я благодарю Вас
и надеюсь, что мы все слушать и здесь, и за границей Вас. Еще раз спа-
сибо.

Из зала: Как по-вашему, нужно ли преподавать евклидову геометрию в
школе?

На мой взгляд, ничего лучшего у нас не придумано (а называть ли ее
евклидовой или как-нибудь иначе - есть разные варианты, конечно). Я
знаю один случай человека, который не учил в школе евклидовой геомет-
рии. Этот человек - Ньютон. Ньютон Евклида прочел уже в университете.
Он учил геометрию по Декарту, при помощи декартовой системы координат,
а евклидову узнал позже, и был благодарен обоим. Хотя надо сказать,
что Ньютон Декарта не любил, потому что Декарт, говорит он, наговорил
столько глупостей и в физике, и в математике, что был просто вреден
для науки. Как Ньютон мог, тем не менее, у него чему-то научиться, ме-
ня поражает. Теория Декарта - я приготовил, но не успел ее расска-
зать - была такова. (Она и сейчас принята во Франции на вооружение,
Бурбаки этому следуют.) Основных принципов четыре. Первый принцип Де-
карта: не имеет никакого значения соответствие исходных аксиом ка-
кой-либо реальности. Эти экспериментальные вопросы касаются приложений
и каких-нибудь специальных наук. По Декарту, наука - это вывод следс-
твий из произвольно взятых аксиом, которые не имеют ни к какому экспе-
рименту, ни к какой реальности никакого отношения. (Это потом Гильберт
много раз повторял.) Второй принцип: столь же мало значения имеет со-
ответствие какому-либо эксперименту окончательных выводов. Мы делаем
рассуждения какие-то, вроде умножения многозначных чисел, выводим из
исходных аксиом какие-то новые следствия, а сверять то, что получи-
лось, с каким-либо экспериментом - это чистая бессмыслица, которой мо-
гут заниматься только какие-нибудь мелкие люди вроде Ньютона (Декарт
последней фразы не говорил, Ньютон ему не был известен). Третий прин-
цип: математика не является наукой. Чтобы математика сделалась наукой,
прежде всего нужно изгнать из нее все следы эксперимента, которые в
ней проявляются в виде чертежей. Когда мы проводим прямые, окружности,
занимаемся евклидовой геометрией, то, согласно Декарту, мы совершаем
ненужную деятельность, которая к науке не имеет отношения. Поэтому
нужно заменить все прямые, окружности и так далее на идеалы, модули,
кольца, оставить только то, что теперь называется алгебраической гео-
метрией. А никакой геометрии (в таком обычном смысле) не надо, по Де-
карту. Нужно, на самом деле, изгнать из всех наук вообще все места,
где играет какую-либо роль воображение. А в геометрии оно играет ог-
ромную роль, поэтому надо ее исключить. И, наконец, последний, четвер-
тый, принцип Декарта, который относится уже прямо к министерству обра-
зования: ``Необходимо немедленно запретить все другие методы препода-
вания, кроме моего, потому что мой метод образования является единс-
твенным истинно демократическим методом. Демократический характер мое-
го метода образования заключается в том, что среди обучающихся по мое-
му методу самый тупой, самый посредственный ум достигнет таких же ус-
пехов, как и самый гениальный''. Например, Декарт ``обнаружил'', что
скорость света в воде на 30% больше, чем в воздухе (в противоречии с
принципом Ферма и с теорией огибающих волн Гюйгенса). Но на предшест-
венников можно было не ссылаться. Когда Паскаль сообщил Декарту о сво-
их работах по гидростатике и о барометрических измерениях, основанных
на экспериментах с торричеллиевой пустотой. Декарт презрительно выгнал
молодого экспериментатора за незнание аксиомы Аристотеля (``природа не
терпит пустоты'') и за нарушение двух своих первых (антиэксперимен-
тальных) принципов. Он написал по этому поводу президенту Академии на-
ук Гюйгенсу: ``лично я нигде в природе пустоты не вижу, разве в голове
у Паскаля''. Через полгода теория Паскаля стала общепринятой, и Декарт
уже говорил, что Паскаль приходил в нему рассказывать ее, но сам ниче-
го тогда не понимал; а теперь, когда он, Декарт, все ему объяснил,
Паскаль рассказывает, как свою, его (Декартову) теорию. Интересно, что
отношение Леонардо да Винчи к эксперименту было совсем иным: в своих
гидродинамических исследованиях (где уже анализируется даже турбулент-
ность) он настаивает на необходимости в этой области руководствоваться
прежде всего экспериментами, а только потом рассуждениями. Вслед за
чем он обсуждает законы подобия и автомодельности.

С.Г.Шеховцов: Вот Вы говорили про якобы имеющиеся принципы Монтеня...
Но дело в том, что на русском языке, по крайней мере два раза, а сей-
час очень много стали издавать ``Опыты''... Монтень в этих ``Опытах''
непрерывно цитирует древних авторов. Как это вообще соотносится? Может
быть, это была просто провокация?

Нет, это не провокация. А дело заключается вот в чем. Монтень особенно
критиковал французскую культуру после своих заграничных путешествий.
Он об этом много раз пишет. Он пишет, что если мы сравним науку во
Франции с наукой в других странах: с наукой в Германии, в Англии, в
Риме, в Испании, в Нидерландах - во всех этих странах, то те принципы,
которые являются французскими типичными, там не действуют, и это го-
раздо лучше. Монтень критикует Францию, и вот эти фразы, которые я
прочитал, являются для Монтеня не правильными утверждениями, а это его
критика специфически французского образа мышления. Об учении Бурбаки
Монтень сказал: ``Tout jugements universels sont laches et dangereux''
(``все универсальные суждения трусливы и опасны'') - в ``Опытах'' в
книге III, гл. VIII, стр.5 издания образца 1588 года. В ``Опытах'' о
стиле изложения много говорится в главе XII книги II, главах VIII и IX
книги III. В книге I гл. XXVI специально посвящена обучению: ``Глав-
ное возбудить аппетит и чувства: иначе воспитаете осла, нагруженного
книгами, ударами кнута и набиванием кармана наукой, которую надо бы не
только поселить у себя, но на которой надо бы было жениться''. Поэтому
вы совершенно правы, что он сам придерживался противоположной выражен-
ной принципами точки зрения, это верно, но он подчеркнул, что во Фран-
ции эта точка зрения господствующая. Между прочим, интересно, что
французская точка зрения была такой еще гораздо раньше. Если вы возь-
мете записки о Галльской войне Цезаря, то уже там имеется жесточайшая
критика французов, ну, галлов в то время, конечно, но кельтский харак-
тер остался во многом и у нынешних французов, и характеристика Фран-
ции, которая дана Юлием Цезарем, во многом остается и сегодня верной.
Цезарь мало говорит о науке, хотя говорит и об этом тоже. Он говорит,
что для французов (для галлов) характерна театральность и стремление
устроить театральное представление там, где они не могут ничего сде-
лать по-настоящему. Они добиться ничего не могут, однако могут претен-
довать. Вот умение претендовать и выдавать за якобы совершенное то,
чего они не достигли, - это их чрезвычайно характерная черта. Они, го-
ворит, с Римом подписали договор, что они ни одного германца не про-
пустят и что Рим от германцев совершенно защищен, потому что Франция
станет стеной и германское нападение остановит (не Франция, а Галлия).
Но, говорит Цезарь, это неправда. Если их (французских солдат) не на-
кормить такой едой, которой вообще и купить-то невозможно, и не напо-
ить таким замечательным вином, которого мы им не можем доставить, то
они вообще не смогут ни сражаться, ни взойти на Альпы, ни, тем более,
остановить германцев. Как только первый немецкий полк перейдет через
Рейн, все французы лягут просто, чтобы их не заметили, и пропустят не-
мецкие легионы, которые сокрушат Рим. Поэтому единственное средство
защититься от германцев для Рима - эту Галлию завоевать, и он начал
Галльскую войну.

Д.В.Аносов: Прекрасная идея - завоевать страну для защиты от третьей
страны.

Из зала: Вы изложили свои взгляды на историю развития математики. А
как Вы относитесь к теории, ко взглядам академика Фоменко на историю?

Имеется большая книжка ``История и антиистория'', недавно выпущенная
издательством ``Языки русской культуры'' (М.,2000), в которой специа-
листы, историки, астрономы и всякие другие очень подробно про это на-
писали. Процитирую оттуда один маленький кусочек, который написал Анд-
рей Зализняк, главный специалист по Новгородским берестяным грамотам.
Согласно его описанию, Фоменко так объясняет происхождение шотландцев,
которые по-английски называются Scots. Две тысячи лет назад на север
от Черного моря жили скифские племена. Скифы были скотоводы, и у них
было много скота. Они, кроме того, имели ладьи, на которых плавали по
различным рекам, они любили очень плавать. Они погрузили свой скот на
ладьи, поплыли вверх по Днепру, по Дону, поднялись на Оку, на Двину,
переплыли Балтийское море, в Данию, в Северное море, в Англию, в Шот-
ландию, нашли там пустые места, построили деревни, поселились там. Но
им не понравилось, потому что плохой климат, все время идет дождь, хо-
лодно. И они решили вернуться. Но так как в те времена аэрофлот рабо-
тал плохо, то они поняли, что погрузить весь свой скот и вернуться со
своим скотом обратно быстро им не удастся. Поэтому им пришлось скот
там оставить, и скоты так с тех пор там и живут, это и есть Scots.
Другой из авторов этой книги указывает, что из опыта коммерческого ус-
пеха теории Фоменко следует с очевидностью тот важный для исторической
науки вывод, что культурный и образовательный уровень нашего населения
в области истории крайне низок.

М.А.Цфасман: Владимир Игоревич, если бы в этой аудитории нашлось нес-
колько безумцев, которые хотели бы сохранить культуру, в том числе
культуру математики, что бы Вы рекомендовали им делать?

Знаете, это очень трудный вопрос. Я бы рекомендовал в преподавании в
школе вернуться к Киселеву. Но это мое личное мнение. Мой учитель,
Андрей Николаевич Колмогоров, очень меня убеждал, когда он начинал
свою реформу, принять участие в этой реформе и переписывать все учеб-
ники, делать их по-новому и излагать, как он хотел, бурбакизировать
школьную математику и так далее. Я категорически отказался, прямо чуть
не поссорился с ним, потому что, когда он мне стал рассказывать свою
идею, это был такой вздор, про который мне было совершенно очевидно,
что пропускать его к школьникам нельзя. К сожалению, после него еще
несколько академиков пропустили, и они сделали еще хуже, чем он. Я бо-
юсь этим заниматься, сейчас я не берусь за это дело, в частности,
пользуясь вот этим всем опытом. Уважаемые мною люди, А. Д. Александ-
ров, Погорелов, Тихонов, Понтрягин - все приняли участие и все написа-
ли плохо. Я могу точно сказать, что плохо написал Колмогоров, скажем,
ну и про других тоже знаю; учебники, которые они предложили, могу кри-
тиковать, но не могу предложить своего учебника...
Я сам преподавал в школе (впрочем, в интернате - правда, это не обыч-
ная школа, но мне случалось и в обычной школе преподавать) - в интер-
нате я читал лекции, про которые издана даже книжка Алексеева, который
тут присутствует, по моим лекциям. Он был одним из слушателей, школь-
ников, который записал эти самые лекции, упражнения, хорошая книжка
``Теорема Абеля в задачах и решениях''. Там есть доказательство теоре-
мы о том, что уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах. При
этом по дороге излагаются (для школьников!) комплексные числа, римано-
вы поверхности, теория накрытий, теория групп, разрешимые группы и
многое другое.12 Свой опыт, как, по-моему, надо преподавать математи-
ку, я многократно излагал конкретным образом по поводу конкретных ве-
щей. Я читал различные лекции, записывал, издавал и так далее. Это я
могу делать. Но стать во главе какого-нибудь большого такого проекта
было бы страшно, потому что, на мой взгляд, здесь нужно иметь какую-то
конкуренцию, при которой разрешается опыту лучших учителей выбиваться
вверх, как это произошло с самим Киселевым, который вовсе не был луч-
шим математиком России и который добился крупнейшего успеха, многок-
ратно перерабатывая свою первоначально не такую уж удачную книгу.
Здесь нужны хорошие учителя, это должны делать хорошие учителя, и они
должны это сделать хорошо.

М. А. Цфасман: А что делать в высшем и в послеуниверситетском образовании?

У меня есть большой опыт, конечно, и в этом. Первое положение, которое
в математическом высшем образовании нанесло огромный ущерб, - это те-
зис, который тоже исходит в основном от французов. Я его усвоил от мо-
его друга Жан-Пьера Серра, французского математика, и этот довод сос-
тоит в следующем. Серр утверждает: ты, говорит, неправильно пишешь во
многих местах, что математика - часть физики. На самом деле математика
к физике (по Серру) не имеет никакого отношения, это совершенно орто-
гональные науки. Дальше Серр пишет фразу, которую я называю бумеран-
гом, т. е. самоопасной. Эта фраза такова: ``Впрочем, нам, математикам,
не следует высказываться по таким философским вопросам, потому что да-
же лучшие из нас, ну, ясно, что, когда мы с ним разговаривали, то это
он, - даже лучшие из нас способны, высказываясь по таким вопросам,
сказать совершеннейшую чушь''. Гильберт в тридцатом году опубликовал
статью ``Математика и естествознание'', в которой он написал, что гео-
метрия является частью физики. По этому поводу я в каком-то месте дол-
жен был говорить, что два великих алгебраиста, Гильберт и Серр, высту-
пают здесь противоречивым образом. Но мои друзья, в частности Дмитрий
Викторович Аносов, ну и другие тоже, мне сказали, что это мое высказы-
вание основано просто на том, что у меня плохо с формальной логикой, я
Аристотеля не читал. На самом деле, вывод из этих двух высказываний -
вовсе не противоречие, а, логически рассуждая, как этому учат школьни-
ков, можно из этих двух высказываний сделать логически строгий вывод.
Он состоит в следующем: геометрия не имеет никакого отношения к мате-
матике. Это и есть логика французов. Они так решили, и они исключили
геометрию из своего образования. В университетском образовании, и в
школьном тоже, выкинуты учебники геометрии, и спросить какого-нибудь
студента Эколь Нормаль Сюперьер в Париже, например, что-нибудь про по-
верхность xy = z^2 или про плоскую кривую, параметрически заданную
уравнениями x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2 безнадежно, этому ничему не
учат. Учебники Лопиталя, Гурса, Жордана - все эти замечательные учеб-
ники, книжки Кляйна, Пуанкаре - все выкинуты из студенческих библио-
тек.

Д.В.Аносов: Адамара...

Адамара тоже... Все выкинуто! Все выкинуто просто потому, как мне объ-
яснили, что это - старые книги, в них заводится вирус, от которого
гниет вся библиотека, в том числе гниют книги Бурбаки, разве это мож-
но?

Е.В.Юрченко: Я хотела сказать несколько слов по поводу изучения гео-
метрии и учебника Киселева, то, что вы говорили. Я считаю, что в пос-
леднее время у учителей есть великолепная возможность использовать
разные учебники, и есть очень интересный вопрос о раннем изучении гео-
метрии, вплоть до того, что начинать изучать ее с первого класса, по-
тому что это очень много дает для развития воображения у детей, и нас-
таивать только на возвращении к учебнику Киселева я бы из своего опыта
работы не стала.

Я не спорю, может быть, есть и лучшие, чем учебник Киселева, учебники,
это вполне возможно. Но, во всяком случае, нужен учебник без этих об-
щенаучных фокусов, без бурбакизма, вот что я имею в виду.

А.Ю.Овчинников: Очень маленький вопрос. В Вашей замечательной книжке
по обыкновенным дифференциальным уравнениям существует необычайно мно-
го всяческих красивых картинок, вообще замечательная книжка, очень ин-
тересно и приятно читать. Но, как нетрудно убедиться при помощи очень
простого эксперимента, подавляющее большинство Ваших студентов благо-
даря этой книжке не могут решить даже очень простых дифференциальных
уравнений. По-Вашему, как это соотносится с тем, казалось бы, несколь-
ко прикладным подходом, который Вы сейчас пропагандируете?

Ну, в применении к лично моим студентам, это просто неправда, у меня
есть большой опыт... В конце учебника, в последнем издании, приведена
чуть не сотня задач, с вполне серьезными уравнениями, и у меня имеется
большой экзаменационный опыт, письменные экзамены, на которых студенты
и в Москве, и в Париже прекрасно решают такие уравнения, которые при
других курсах решать студенты не могут. И эти уравнения совершенно
стандартные, в то же время; это не трудные уравнения, понимаете? Я
специально занимался этим вопросом - о требованиях, и я несколько раз
писал списки задач, которые надо требовать, чтобы умели решать. Напри-
мер, у меня есть такая большая статья, не только по дифференциальным
уравнениям, по всей математике, которую я писал для Физтеха, но она
годится и для математика, относительно того, какие сто задач составля-
ют весь курс математики. Эти сто задач в ``Успехах'' опубликованы, и я
очень рекомендую эту статью, ``Математический тривиум''. Это задачи
легкие, их много, сто, но они легкие. Например, первая задача такая:
``Дан график функции. Нарисовать график производной''. Если человек не
умеет этого делать, то, хотя бы он умел дифференцировать все многочле-
ны и рациональные функции, он ничего в производных не понимает. Точно
таким же образом я вел и дифференциальные уравнения, и у меня имеется
опыт, я утверждаю, что, если кто-то по моим учебникам преподавал так,
что студенты не умеют решать простейшие уравнения, то это плохой пре-
подаватель.

* * *

Недавно мне пришлось столкнуться с задачей, с которой справляются пя-
тилетние дети, но которую не поняла и исказила редакция одного из ака-
демических журналов (``Успехи физических наук''). На полке стоят два
тома Пушкина. Листы каждого тома занимают 2 см, а каждая обложка - 2
мм. Червь прогрыз от первой страницы первого тома до последней второ-
го. Какое расстояние он прогрыз? Скажу еще несколько слов о задачах.
Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко
справляются: ``Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-си-
него цвета.'' Вот образец решения:
Обозначим через Xn(Y) множество всех поездов системы Y на планете но-
мер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе). Согласно
таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в
Солнечной системе номер. Множество X4(RER) пусто. Согласно теореме
999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми
наперед заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете
Марс красно-синего цвета.
Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основан-
ной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего воз-
раста: французских школьников учат, что любое вещественное число боль-
ше самого себя, что 0 - натуральное число, что все общее и абстрактное
важнее частного, конкретного.
Вместо простых и фундаментальных основ науки, французских студентов
быстро специализируют, так что они становятся экспертами в какой-то
узкой области своей науки, не зная ничего другого.
Уже Леонардо да Винчи отмечал, что любой тупица, занявшись исключи-
тельно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достигнет в
ней успеха. Он писал это в инструкции для художников, но сам занимался
многими разными областями науки. Соседние разделы его записок содержат
подробнейшие инструкции для подводных диверсантов (включающие как ис-
пользование в подводных работах огня, так и рекомендации отравляющих
веществ).
Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача:
найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и
опущенной на нее высотой, длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.
Вот еще несколько цитат из старых источников, поясняющих, как сложи-
лась нынешняя грустная ситуация в области образования и нынешняя безг-
рамотность населения.
Руссо в ``Исповеди'' писал, что не верил доказанной им самим формуле
``квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с их удвоенным произ-
ведением'' до тех пор, пока не нарисовал соответствующее разбиение
квадрата на четыре прямоугольника.
Лейбниц объяснял королеве Софии-Шарлотте, желая спасти ее от влияния
безбожника Ньютона, что существование Бога легче всего доказывается
наблюдением нашего собственного сознания. Ибо если бы наши знания про-
исходили только от внешних событий, то мы никогда не смогли бы узнать
универсальные и абсолютно необходимые истины. То, что мы их знаем - и
этим выделены среди животных - доказывает, по мнению Лейбница, наше
божественное происхождение.
Реформируя школьное образование, французы писали в 1880 г.: ``Каждая
вещь стоит столько, за сколько ее продают. Какая же будет цена вашему
бесплатному образованию?''
Абель жаловался в 1820 г., что французские математики хотят только
учить, но ничему не желают учиться. Позже они презрительно писали, что
этот бедняк (сочинение которого Академия Наук потеряла) ``возвращался
из Парижа в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком по льду''.
Школьное обучение Абеля начал его отец, учивший сына, в частности, что
0 + 1 = 0. Французы и сейчас учат своих школьников и студентов, что
каждое вещественное число больше самого себя и что 0 - натуральное
число (согласно Бурбаки и Лейбницу, все общие понятия важнее частных).
Бальзак упоминает ``длинный и очень узкий квадрат''.
Согласно Марату, ``лучшие из математиков - Лаплас, Монж и Кузен: свое-
го рода автоматы, привыкшие следовать определенным формулам, применяя
их вслепую''. Впрочем, позже Наполеон сменил Лапласа на посту министра
внутренних дел ``за попытку ввести в администрирование дух бесконечно
малых'' (я думаю, что Лаплас желал, чтобы счета сходились до копейки).
Американский президент Тафт заявил в 1912 году, что сферический треу-
гольник с вершинами в Северном полюсе, в Южном полюсе и на Панамском
канале равносторонний. Поскольку в вершинах развеваются американские
флаги, он считал ``все полушарие, охваченное этим треугольником'' сво-
им.
А.Дюма-сын упоминает ``странную архитектуру'' домов, состоящих ``напо-
ловину из штукатурки, наполовину из кирпичей, наполовину из дерева''
(1856). Впрочем, парижская газета писала в 1911 году, что ``пятая сим-
фония Малера длится час с четвертью без перерыва, так что на третьей
минуте слушатели смотрят на часы и говорят себе: еще сто двенадцать
минут!'' Наверное, так и было.
Следующая история связана с Дубной. Два года назад Академия Линчей15 в
Риме отмечала память Бруно Понтекорво, жившего с 1950 года до своей
смерти в 1996 г. то в Москве, то в Дубне. Лет за тридцать до смерти он
рассказывал, что однажды заблудился (в окрестностях Дубны?) и добрался
до дому только подъехав на тракторе. Тракторист, желая быть любезным,
спросил: ``А чем вы там в Институте в Дубне занимаетесь?'' Понтекорво
честно ответил: ``Нейтринной физикой''. Тракторист был очень доволен
беседой, но заметил, похвалив русский язык иностранца: ``Все же у Вас
сохраняется некоторый акцент: физика не нейтринная, а нейтронная!''
Рассказывая в Италии эту историю, Понтекорво добавил: ``Я надеюсь до-
жить до того времени, когда уже никто не будет путать нейтрино с нейт-
ронами!'' Докладчик в Академии Линчей, в Трудах которой я прочел все
вышеизложенное происшествие, комментирует это так: ``Сейчас мы можем
уже сказать, что предвидение Понтекорво исполнилось: теперь уже никто
не знает не только что такое нейтрино, но и что такое нейтрон!"''

О преподавании математики

Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики в
Palais de De-couverte в Париже 7 марта 1997 г.

Математика - часть физики. Физика - экспериментальная, естественная
наука, часть естествознания. Математика - это та часть физики, в кото-
рой эксперименты дешевы. Тождество Якоби (вынуждающее высоты треуголь-
ника пересекаться в одной точке) - такой же экспериментальный факт,
как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его
можно с меньшими затратами. В середине двадцатого века была предприня-
та попытка разделить математику и физику. Последствия оказались ка-
тастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с по-
ловиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления
ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоласти-
ческой псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв
о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного
места под Солнцем). Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в
каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, матема-
тика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к ма-
тематикам - и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых
со временем стали министрами), и со стороны пользователей.
Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности
математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с фи-
зикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Яс-
но, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться
совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры
(в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и
произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сек-
тантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем
ввести в теорию, пополнив ее (уступая потребностям физики и реального
мира) некоторыми "идеальными" объектами.
К сожалению, именно подобное уродливое извращенное построение матема-
тики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий.
Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распростра-
нилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и
школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других
странах, включая Россию). Ученик французской начальной школы на вопрос
"сколько будет 2+3" ответил: "3+2, так как сложение коммутативно". Он
не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашива-
ют! Другой французский школьник (на мой взгляд, вполне разумный) опре-
делил математику так: "там есть квадрат, но это нужно еще доказать".
По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о матема-
тике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в Ecole Norma-
le Superieure - этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко
больше всего) - столь же убого, как у этого школьника.
Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме
поверхности, заданной уравнением xy=z^2, вызывает у математиков, обуча-
ющихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную пара-
метрическими уравнениями (вроде x=t^3-3t, y=t^4-2t^2) - задача совер-
шенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства
французских профессоров математики).
Начиная с первого учебника анализа Лопиталя ("анализ для понимания
кривых линий") и примерно до учебника Гурса, умение решать подобные
задачи считалось (наряду со знанием таблицы умножения) необходимой
частью ремесла каждого математика. Обиженные Богом ревнители "абс-
трактной математики" выбросили из преподавания всю геометрию (через
которую в математике чаще всего осуществляется связь с физикой и ре-
альностью). Учебники анализа Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выбро-
шены на свалку студенческой библиотекой Университетов Париж и (Жюсье)
как устаревшие и потому вредные (только благодаря моему вмешательству
удалось их спасти).
Студенты ENS, прослушавшие курсы дифференциальной и алгебраической ге-
ометрии (прочитанные уважаемыми математиками), оказались незнакомыми
ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y^2=x^3+ax+b, ни во-
обще с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об
эллиптических интегралах первого рода и о групповом свойстве эллипти-
ческой кривой, т.е. о теореме сложения Эйлера-Абеля) - их учили лишь
структурам Ходжа и якобиевым многообразиям! Как могло сложиться такое
положение во Франции, давшей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре,
Лере и Тома? Мне кажется, разумное объяснение дал И.Г.Петровский,
учивший меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки,
но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по
разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или "прик-
ладная и индустриальная" проблематика), но сущностью всегда остается
решение социальной проблемы - самосохранение в условиях более грамот-
ного окружения.
Напомню, кстати, предостережение Л.Пастера - никогда не существовало и
не будет существовать никаких "прикладных наук", есть лишь приложения
наук (весьма полезные!). В те времена я относился к словам Петровского
с некоторым сомнением, но теперь я все более и более убеждаюсь, нас-
колько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности
сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий
у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам--обоб-
щателям. Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математичес-
кие результаты почти никогда не называются именами их открывателей.
Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достиже-
ния почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это
постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским,
Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками. Проф. М. Берри сформулировал од-
нажды следующие два принципа:
Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то
это - не имя первооткрывателя.
Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе.
Вернусь, однако, к преподаванию математики во Франции.
Когда я учился на первом курсе мех.-мата МГУ, лекции по анализу читал
теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно переска-
зывающий старый классический курс анализа французского образца, типа
Гурса. Он сообщил нам, что интегралы от рациональных функций вдоль ал-
гебраической кривой берутся, если соответствующая риманова поверх-
ность - сфера, и, вообще говоря, не берутся, если род ее выше, и что
для сферичности достаточно существования на кривой данной степени дос-
таточно большого числа двойных точек (вынуждающих кривую быть уникур-
сальной: ее вещественные точки можно нарисовать на проективной плос-
кости единым росчерком пера). Эти факты настолько поражают воображе-
ние, что (даже сообщенные без всяких доказательств) дают большее и бо-
лее правильное понятие о современной математике, чем целые тома трак-
тата Бурбаки. Ведь мы узнаем здесь о существовании замечательной связи
между вещами на вид совершенно различными: существованием явного выра-
жения для интегралов и топологией соответствующей римановой поверхнос-
ти, с одной стороны, а с другой стороны - между числом двойных точек и
родом соответствующей римановой поверхности, проявляющемся вдобавок в
вещественной области в виде уникурсальности.
Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в
ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в
виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника. Эти отк-
рытия связей между разнородными математическими объектами можно срав-
нить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходс-
тва восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.
Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоце-
нить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные яв-
ления единства всего сущего. Дегеометризация математического образова-
ния и развод с физикой разрывает эти связи. Например, не только сту-
денты, но и современные алгебраические геометры в большинстве своем не
знают об упомянутом здесь Якоби факте: эллиптический интеграл первого
рода выражает время движения вдоль эллиптической фазовой кривой в со-
ответствующей гамильтоновой динамической системе. Перефразируя извест-
ные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь
же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам сту-
дентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить
складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на
равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут
складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем. От
моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным
обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исклю-
чаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но
все же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимс-
твовал у Пуанкаре.
Схема построения математической теории совершенно такая же, как в лю-
бой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и
делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти
пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняю-
щие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком ши-
рокий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных
чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют
последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).
В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпиричес-
кое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После
этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полу-
ченные заключения. Здесь в математике разработана специальная техноло-
гия, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда
может приводить и к самообману. Эта технология называется моделирова-
нием. При построении модели происходит следующая идеализация: некото-
рые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с неко-
торой точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "ак-
сиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит ровно в том, что мы позволя-
ем себе оперировать с этими "фактами" по правилам формальной логики,
объявляя "теоремами" все то, что из них можно вывести. Понятное дело,
что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные
дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изу-
чаемых явлений никогда не бывает известными нам абсолютно точно, а не-
большое изменение параметров (например, начальных условий процесса)
может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надежный
долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невоз-
можным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие на-
чальные условия датчики.
Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь
мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к
иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем
длиннее и искуснее цепь выводов ("доказательств"), тем менее надежен
окончательный результат.
Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).
Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой
неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как
если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот - явно непра-
вильный с точки зрения естествознания - путь часто приводит к полезным
результатам в физике, называют "непостижимой эффективностью математики
в естественных науках" (или "принципом Вигнера"). Здесь можно добавить
замечание, принадлежащее И.М. Гельфанду: существует еще один феномен,
сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффек-
тивностью математики в физике - это столь же непостижимая неэффектив-
ность математики в биологии.
"Тонкий яд математического образования" (по выражению Ф. Клейна) для
физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от
реальности и перестает с нею сравниваться. Вот самый простой пример:
математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt=x однозначно
определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интеграль-
ные кривые на плоскости (t,x) не пересекают друг друга). Этот вывод
математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный
эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие
точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с
начальными условиями x(0)=0 и x(0)=1 при t=-10 практически пересекают-
ся, а при t=-100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства прост-
ранства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой ге-
ометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации - явное
превышение точности модели. При практическом применении модели это на-
до иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему
заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную:
при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая
(линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы
бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый
надлежащими неидеально упругими телами). Между прочим, с этой пробле-
мой пришлось всерьез столкнуться при посадке первых же спускаемых ап-
паратов на Луну и Марс, а также при причаливании к космическим станци-
ям - здесь теорема единственности работает против нас.
К сожалению, ни подобные примеры, ни обсуждение опасности фетишизиро-
вания теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже
лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты
(мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматичес-
кой математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуж-
дающегося в последующем контроле выводов экспериментом). Не говоря уже
об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбеж-
ности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в
компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляция-
ми). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать се-
бя (лучше всего - примерами), то уже через какой-нибудь десяток стра-
ниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменате-
лей проникнут в числители. Технология борьбы с подобными ошибками -
такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в лю-
бой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить
школьников младших классов.
Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики приве-
ли к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение - модель - исследо-
вание модели - выводы - проверка наблюдениями) и замена ее схемой: оп-
ределение - теорема - доказательство. Понять немотивированное опреде-
ление невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-ак-
сиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение
натуральных чисел при помощи правила умножения "столбиком". Коммута-
тивность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же
выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и ее доказательство можно
затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет
как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие опре-
деления, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для
практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут. По-
нять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстро-
енных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами
площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физи-
ки и реальности в математику - сектанство и изоляционизм, разрушающие
образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех
разумных людей. Раскрою еще несколько подобных секретов (в интересах
несчастных студентов).
Определитель матрицы - это (ориентированный) объем параллелепипеда,
ребра которого - ее столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тща-
тельно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся
теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных
форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного
человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к яко-
бианам, и к теореме о неявной функции.
Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя опера-
циями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение
вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары
операций? "Да пропади она пропадом, эта математика" - заключает сту-
дент (делающийся в будущем, возможно, министром науки). Положение ста-
новится совершенно иным, если начать не с группы, а с понятия преобра-
зования (взаимно-однозначного отображения множества в себя), как это и
было исторически. Набор преобразований какого-либо множества называет-
ся группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями он содержит
результат их последовательного применения, а вместе с каждым преобра-
зованием - обратное преобразование. Вот и все определение - так назы-
ваемые "аксиомы" - это на самом деле (очевидные) свойства групп преоб-
разований. То, что аксиоматизаторы называют "абстрактными группами" -
это просто группы преобразований различных множеств, рассматриваемые с
точностью до изоморфизма (взаимно-однозначного отображения, сохраняю-
щего операции). Никаких "более абстрактных" групп в природе не сущест-
вует, как это доказал Кэли. Зачем же алгебраисты до сих пор мучают
студентов абстрактным определением? Между прочим, в 1960-е годы я пре-
подавал теорию групп московским школьникам. Избегая аксиоматики и ос-
таваясь возможно ближе к физике, я за полгода дошел до теоремы Абеля о
неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (научив
школьников попутно комплексным числам, римановым поверхностям, фунда-
ментальным группам и группам монодромии алгебраических функций). Этот
курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым,
в виде книги "Теорема Абеля в задачах".
Что такое гладкое многообразие? В недавней американской книге я про-
чел, что Пуанкаре не был знаком с этим (введенным в математику им са-
мим) понятием, и что "современное" определение дано лишь в конце
1920-х годов Вебленом: многообразие - это топологические пространство,
удовлетворяющее длинному ряду аксиом.
За какие грехи вынуждены студенты продираться через все эти ухищрения?
На самом деле в Analysis Situs Пуанкаре имеется совершенно явное опре-
деление гладкого многообразия, которое гораздо полезнее "абстрактно-
го". Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R^N -
это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки предс-
тавляет собой график гладкого отображения R^k в R^(N-k) (где R^k и
R^(N-k) - координатные подпространства). Это - прямое обобщение самых
обычных гладких кривых на плоскости (скажем, окружности x^2+y^2=1) или
кривых и поверхностей в трехмерном пространстве. Между гладкими много-
образиями естественно определяются гладкие отображения. Диффеоморфиз-
мы - это отображения, гладкие вместе со своими обратными. "Абстракт-
ное" гладкое многообразие - это гладкое подмногообразие какого-либо
евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма.
Никаких "более абстрактных" конечномерных гладких многообразий в при-
роде не существует (теорема Уитни). Зачем же мы до сих пор мучаем сту-
дентов абстрактным определениям? Не лучше ли доказать им теорему о яв-
ной классификации двумерных замкнутых многообразий (поверхностей)?
Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что всякая
компактная связная ориентируемая поверхность - это сфера с некоторым
числом ручек) дает правильное представление о том, что такое современ-
ная математика, а вовсе не сверхабстрактные обобщения наивных подмно-
гообразий евклидова пространства, не дающие на самом деле ничего ново-
го и выдаваемые аксиоматизаторами за достижения. Теорема о классифика-
ции поверхностей - математическое достижение высшего класса, сравнимое
с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие
математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли
сам факт математике или физике. По своему значению и для приложений, и
для выработки правильного мировоззрения он далеко превосходит такие
"достижения" математики, как решение проблемы Ферма или доказательство
того, что всякое достаточно большое целое число представляется в виде
суммы трех простых чисел.
Ради рекламы современные математики иногда выдают подобные спортивные
достижения за последнее слово своей науки. Понятно, что это не только
не способствует высокой оценке математики обществом, а, напротив, вы-
зывает здоровое недоверие к необходимости затраты усилий на занятия
(типа скалолазания) этими экзотическими и неизвестно зачем и кому нуж-
ными вопросами. Теорема о классификации поверхностей должна была бы
входить в курсы математики средней школы (вероятно, без доказательст-
ва), но не входит почему-то даже в университетские курсы математики
(из которых во Франции, впрочем, за последние десятилетия изгнана во-
обще вся геометрия).
Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической
болтовни к изложению важной естественнонаучной области - особенно
насущная задача для Франции. Для меня было удивительным, что студентам
здесь практически неизвестны (и, кажется, не переводились на французс-
кий язык) все самые лучшие и важные в методическом отношении математи-
ческие книги: "Числа и фигуры" Радемахера и Теплица, "Наглядная гео-
метрия" Гильберта и Кон-Фоссена, "Что такое математика" Куранта и Роб-
бинса, "Как решать задачу" и "Математика и правдоподобные рассуждения"
Полиа, "Лекции о развитии математики в девятнадцатом столетии"
Ф. Клейна. Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел на меня
в школьные годы курс анализа Эрмита (существующий, между прочим, в
русском переводе!). Римановы поверхности появлялись в нем, кажется, в
одной из первых лекций (весь анализ был, конечно, комплексным, как это
и должно быть). Асимптотики интегралов исследовались при помощи дефор-
маций путей на римановых поверхностях при движении точек ветвления
(теперь мы это назвали бы теорией Пикара--Лефшеца; Пикар, кстати, был
зятем Эрмита - математические способности часто передаются зятьям: ди-
настия Адамар - П. Леви - Л. Шварц - У. Фриш - еще один знаменитый
пример в Парижской Академии наук).
"Устарелый" курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне
из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо сов-
ременнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают
студентов. Если математики не образумятся сами, то потребители, сохра-
нившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической
теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет
к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от
услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.
Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Лан-
дау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас - не знаю-
щий разницы между открытым и замкнутым множеством.

Дата создания оригинала документа: 25.08.2001.

Математика и математическое образование в современном мире *

"No star wars - no mathematics" - говорят американцы. Тот прискорбный
факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния матема-
тика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, яв-
ляется позором для современной цивилизации, признающей только "прик-
ладные" науки1, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом. На
самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не сущест-
вовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого труд-
но заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру,
существуют лишь приложения науки. Опыты с янтарем и кошачьим мехом ка-
зались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно
они изменили наш мир, после Того как Фарадей и Максвелл написали урав-
нения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки
окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ
современных правителей платить по этому счету - удивительно недально-
видная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут
наказаны технологической и, следовательно, экономической (а также и
военной) отсталостью.
Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача вы-
живания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тя-
желую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.
Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсе-
местно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в це-
лом, направленное на уничтожение математической культуры как части
культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение ма-
тематического образования.
Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях
сделалось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами фор-
мализованного преподавания является изобилие немотивированных опреде-
лений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутс-
твие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков - столь же пос-
тоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематема-
тических приложений и мотивировок понятий математики. Уже Пуанкаре от-
мечал, что есть только два способа научить дробям - разрезать (хотя бы
мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения
(аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать
числители с числителями, а знаменатели - со знаменателями.
Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической
физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы постро-
ения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство
строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом
надежные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холм-
са - каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять
адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять
неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не
столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько матема-
тический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социаль-
ном значении вычислений (и computer science) сила математики - не в
них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным
рецептам.
В истории России был премьер-министр с математическим образованием
(окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Че-
бышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математи-
ческим моделированием2: "Между математиками есть двоякого рода люди:
1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли,
для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математи-
ков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не циф-
ры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие
математики, которых философия математики, математические идеи не тро-
гают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и форму-
лах... Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда
с презрением к математикам - исчислителям, а математики-исчислители,
среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на матема-
тиков-философов как на людей в известном смысле "тронутых".
Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое
происхождение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за
умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности
силлогизмов, а правое - за пространственную ориентацию, интуицию и все
необходимое в реальной жизни. У "математиков - исчислителей", по тер-
минологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет не-
доразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним "За-
щиту Лужина" Набокова). Но доминирование математиков этого типа и при-
вело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно
в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество
естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом яви-
лись повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех
правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожени-
ем. Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий
мозга.
После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и
принял предложение частной компании стать начальником дистанции на
Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по
неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных
(стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кас-
сира, кочегара, машиниста, начальника станции...) - неоценимый опыт
для будущего премьер-министра. Однажды царский поезд, следующий в
Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на воз-
мущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу
своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не
подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена.
Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у стан-
ции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Вит-
те был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии
стал и премьер-министром.
Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах эконо-
мики и техники, чем в политических интригах (к которым больший талант
имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распути-
на он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для
ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (Русско-японская
война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте ос-
тавался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша
история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции
и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция... Конечно, сила Витте
заключалась вовсе не в применении какой-либо математики ("исчисле-
ний"), а в том способе мышления, который он называет "математикой-фи-
лософией" и который заставляет человека с математическим образованием
думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или
бессознательного) мягкого математического моделирования. Идея о необ-
ходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или
производственной деятельности (исключая, быть может, политические инт-
риги) была хорошо понята уже сто лет назад3:
Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую
запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого оши-
бочные выводы - и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит ог-
ромного труда и бесконечных, часто бесплодных споров".
К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математичес-
кой экономики Парето4: "Экономисты, не знающие математики, находятся в
положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни Того,
что она из себя представляет, ни Того даже, что представляет из себя
каждое входящее в нее единичное уравнение".
На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я
обсуждал проекты перестройки преподавания математики в средних школах
Франции с министром народного образования, исследований и технологии
Клодом Аллегре и его советником Винсентом Куртийо, который так описал
их планы: берем учебник математики, рвем его на куски, оставляем одну
треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть
школьники знали как следует. Хочу предупредить возможных российских
реформаторов-последователей: математика - живой организм, вдобавок по-
добный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвы-
чайно опасно. Выводы: планируемое во всех странах подавление фундамен-
тальной науки, и в частности математики (по американским данным, на
это им потребуется лет 10 - 15), принесет человечеству (и отдельным
странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры инквизиции
западной цивилизации (и Испании).
Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть куль-
турного багажа каждого школьника. Основной целью математического обра-
зования должно быть воспитание умения математически исследовать явле-
ния реального мира, умение, так хорошо описанное Витте в его характе-
ристике "математики-философии" и так блестяще использованное им в вов-
се не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать
мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого
умения. Применяя таблицу умножения, легко получить следующий резуль-
тат: уменьшение средней продолжительности жизни на десять лет приводит
в масштабах СССР к такой же потере человеко-лет, как одновременный
расстрел порядка 80 миллионов человек (в масштабах России - порядка
40 миллионов). Здесь использована лемма: когда коммунисты расстрелива-
ют вас, вы теряете в среднем порядка половины своей жизни.
Математика, подобно физике, экспериментальная наука, отличающаяся от
физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо,
именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше
бюджета физических отделений (а следовательно, производительность на-
ших математиков - в соответствующее число раз выше). Как мне сообщил
на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фаддеев,
затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а
современные затраты России - стоимость примерно одной десятой танка в
год. Мы живем в сумасшедшем мире, будущее которого представляется
весьма сомнительным. То, что в России еще остались математики, упорно
на желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых
студентов, - свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения на-
ших западных коллег? глупости), традиционного для российской интелли-
генции. Но долго удерживаться такое состояние не может.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕСТРОЙКИ

Самые простые и самые общие математические модели этой сильно нелиней-
ной ситуации приводят нас к выводам, которые могут показаться неожи-
данными для управленцев, привыкших иметь дело с линейными системами, в
которых результаты пропорциональны усилиям.
Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего издания моей
книжки "Теория катастроф" (М.: Наука, 1990) (в предыдущих изданиях эти
выводы поместить не удавалось по причинам, исчезнувшим - надеюсь, не
только временно - вследствие самой перестройки).
Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установившемся устойчивом
состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется
лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы 5.
Вот некоторые простейшие выводы:
1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит
к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему
состоянию увеличивается.
2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление сис-
темы изменению ее состояния растет.
3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состоя-
ние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. Пос-
ле прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшать-
ся.
4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки
сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и
как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исче-
зает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.
5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние,
сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенство-
вания системы. Слабо развитая система может пройти в лучшее состояние
почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система,
в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение
не способна.
6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из
плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше
она будет сама собой эволюционировать в сторону хорошего состояния.
С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нель-
зя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные вы-
воды. Теория доставляет также количественные модели, но качественные
выводы представляются более важными и в то же время более надежными:
они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство кото-
рой и численные параметры могут быть недостаточно известными.
Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух беско-
нечно малых"6. Математическоя теория перестроек - это та часть совре-
менного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление
сложными и плохо известными нелинейными системами практически невоз-
можно.
Следующее явление хорошо известно в теории управления техническими
системами. Я опишу его в самой простой модели, лишь заменяя техничес-
кие термины человеческими. Пусть производство какого-либо продукта, х,
управляется некоторым руководителем, принимающим решение о скорости
производства. В свою очередь, поведение руководителя управляется руко-
водителем второго ранга, принимающим решение о скорости изменения ско-
рости производства, и так далее, до генерального руководителя n-го
ранга. Генеральный руководитель в нашей модели реализует обратную
связь: его решение основывается не на желании выполнить приказ началь-
ства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела.
Математический анализ этой и других подобных ей моделей приводит к вы-
воду: многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при n,
большем двух, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к пери-
одическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания ко-
лебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.
Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление,
при котором управляющее лицо более заинтересовано в интересах дела,
чем в поощрении со стороны начальства. Длительное и, по-видимому, ус-
тойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР
объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существо-
ванием "теневой" системы заинтересовывания управляющих различных ран-
гов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в
современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией)
многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе. К счастью, необхо-
димость в независимости Центробанка уже хорошо понята, но многоступен-
чатое ("административное") управление сохраняется во многих других
случаях.
Описанная выше модель управления является "мягкой" в том смысле, что,
хотя целый ряд подробностей (например, вид обратной связи) в ней не
уточнен, выводы остаются справедливыми для многих различных "жестких"
моделей, в которых эти подробности фиксированы.
Теория мягкого моделирования - это искусство получать относительно на-
дежные выводы из анализа малонадежных моделей.
* Статья подготовлена на основе доклада "Жесткие" и "мягкие" математи-
ческие модели", прочитанного на семинаре "Аналитика в государственных
учреждениях".

1 Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде па-
рапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (зам.
академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объясне-
ния.
2 С. Ю. Витте. Воспоминания. Т. 3, гл. 5.
3 В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова.
1904. С. 5.
4 V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonomie. Encyclope-
die der Mathematischen Wissenshaften, Band I, Heft 7. S. 1114.
5 Сама по себе рыночная экономика - не панацея: согласно знаменитой
теореме Дебре, она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к
любому хаосу.
6 Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром,
требовал, чтобы все счета сходились до копейки.

РОССИЯ КАК ЗАПОВЕДНИК НАУКИ

До сих пор уничтожение культуры, науки и образования (в частности, ма-
тематики и математического образования) в России идет медленнее, чем в
более цивилизованных странах (подробнее об этом и других проблемах,
затронутых ниже, см. приложение к статье. - Прим. ред.).
Нынешняя позорная дискриминация российских (а равно индийских, китайс-
ких и т.д.) ученых западным научным сообществом наносит мировой науке
очевидный ущерб. До падения коммунизма нас не пускали за границу ком-
мунисты. Теперь дверь закрыта с другой стороны системой бесполезных
"виз", без которых обходились в XIX столетии , а сейчас их не требуют
от американцев и других "истинно белых". В столетней давности энцикло-
педическом словаре Брокгауза и Ефрона требование визы определяется как
способ одной страны показать другой нежелательность всех ее граждан
как таковых. Английское консульство в Париже недавно выдало мне список
требований для получения визы, необходимой для поездки в Кембридж и
Оксфорд на несколько дней. Среди дюжин других документов они затребо-
вали от меня копию британского паспорта приглашающего меня британского
гражданина и сведения о религии священнослужителя, выдавшего мне сви-
детельство о браке. Сто лет назад математики могли ездить из одной
страны в другую без виз и унижений в консульствах. Сейчас это доступно
только родившимся в некоторых привилегированных странах. Русские, аф-
риканцы и азиаты, среди прочих, нежелательны. Евроамериканская идея
прав человека - это идея прав евроамериканского человека.
Недавно возник новый вид работорговли. Мои друзья - биологи, химики,
физики - рассказывали мне, что американские и европейские университеты
приглашают российских исследователей, платят им гроши (превосходящие,
однако, российские профессорские зарплаты, которые в июле 1998 г. были
порядка сотни долларов в месяц, а сейчас, вероятно, раза в три-четыре
меньше, при почти одинаковых ценах на продовольствие в Москве и, нап-
ример, в Париже). Эти русские рабы трудятся изо всех сил, но публика-
ции подписывают не они, а сотрудники приглашающей лаборатории. Техно-
логия присвоения результатов российских математиков иная, но итог та-
кой же: эти результаты по большей части приписываются западным эпиго-
нам. На последнем Международном математическом конгрессе в Берлине в
августе 1998 г. не было ни одного русского пленарного докладчика. Не-
которые доклады, присланные из России, не были включены в труды конг-
ресса потому, что авторы не сумели перевести деньги организаторам
конгресса. Такой дискриминации не было даже в худшие времена холодной
войны. Думаю, однако, что, несмотря на эти дискриминационные меры,
Россия в конце концов достигнет уровня Европы и даже Америки, так что
знание школьной математики и истории Джордано Бруно придет в нашей
стране в соответствие с евроамериканскими стандартами.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Ответы академика В.И. Арнольда на вопросы анкеты Европейского матема-
тического общества об изменениях в Восточной Европе за последние 10
лет.

1. Ощущаете ли вы влияние изменений политической ситуации в вашей
стране за последние 10 лет на науку и на математику?

Положение математиков и вообще ученых в России и других странах, ранее
входивших в СССР, изменилось кардинально. В СССР жалованье математика
было достаточным для жизни и даже завидным. Теперь в России оно при-
мерно в 100 раз меньше, чем жалованье математика того же уровня в США.
Тот факт, что мы все еще имеем активно работающих математиков, отчасти
объясняется традиционным для российской интеллигенции идеализмом (с
точки зрения большинства наших западных коллег, просто глупостью), от-
части же - большой помощью, оказанной западным математическим сооб-
ществом (в частности, Математическим обществом Франции, Американским
математическим обществом, Международным математическим союзом, Фондом
Сороса).
Интересно отметить, что независимая оценка профессионализма примерно 6
тыс. математиков бывшего СССР, проведенная, с одной стороны, Амери-
канским математическим обществом совместно с Фондом Сороса, а с другой
стороны - Российским фондом фундаментальных исследований, дала практи-
чески совпадающие выводы примерно в 80% случаев (в то время как в дру-
гих науках корреляция оказалась минимальной). Мы можем гордиться боль-
шей объективностью математического научного сообщества по сравнению с
ситуацией в других науках: критерии, применяемые Российским фондом
фундаментальных исследований, являются (покамест?) научными и недиск-
риминационными.

2. Как вы расцениваете роль "утечки умов" для развития математики: как
естественное, прискорбное или положительное явление?

"Утечка мозгов" в сегодняшней ситуации - неизбежное зло: ее сдерживают
только препятствия, воздвигнутые Западом. Если эта ситуация сохранит-
ся, то будущее российской математической школы будет, скорее всего,
сходным с судьбой великой немецкой математической школы Ф. Клейна и Д.
Гильберта или с судьбой итальянской школы алгебраической геометрии.
П.Л. Чебышев, проводивший много времени за границей, находился в дру-
жеских личных отношениях с рядом иностранных математиков, но никогда
не обсуждал с ними математические вопросы (из опасения за оригиналь-
ность собственных исследований).
Значение российской математической школы для мировой математики всегда
определялось оригинальностью российских исследований и их независи-
мостью от западной моды. Чувство, что занимаешься областью, которая
станет модной через 20 лет, чрезвычайно стимулирует. К сожалению, этот
период теперь начал сокращаться, чему в немалой степени способствует и
"утечка мозгов".

3. Каковы первоочередные проблемы при любой попытке поддержать матема-
тические традиции в вашей стране?

Затраты маркизы де Помпадур на науку и культуру составляли около полу-
тора процентов ее затрат на наряды и косметику, и этого хватило для
того, чтобы создать век Просвещения, Энциклопедию и т.п. В России нет
маркизы де Помпадур и угроза наступления века невежества кажется со-
вершенно реальной. Я написал об этом подробнее в статье "Математичес-
кая безграмотность губительнее костров инквизиции", опубликованной в
"Известиях" 16 января 1998 г. (английский перевод в "Newsletter" Лон-
донского математического общества, 259, апрель 1998 г.).

4. Какой может быть роль Европейского математического общества и дру-
гих международных математических организаций в деле поддержания мате-
матической культуры в вашей стране?

Конечно, даже относительно скромная помощь библиотекам и фондам, пре-
доставление стипендий и приглашения на полставки были бы чрезвычайно
полезны. Работая в Париже часть года, я могу приглашать ежегодно нес-
колько человек на деньги своего личного гранта Университетского инсти-
тута Франции. Сделать это было бы гораздо труднее, если бы я восполь-
зовался возможностями, предоставляемыми университетами или Националь-
ным центром научных исследований Франции, и совершенно невозможно в
рамках европейской системы (которую во французских газетах за это на-
зывали "нацистской"), сколько бы лет я ни платил французские налоги,
поскольку я не рожден во Франции.
Международные математические организации должны были бы остановить по-
зорную дискриминацию российских (а равно и других незападных - украин-
ских, китайских, индийских и т.д.) ученых или должны были бы хотя бы
протестовать против такой дискриминации. Думаю, что большинство моих
западных коллег просто не в состоянии представить себе степень униже-
ния, через которую мы должны пройти в их консульствах и полицейских
учреждениях, чтобы побывать на их конференциях, школах и т.п. Мне ка-
жется, западная (французская?) идея прав человека - эта идея прав за-
падного (французского?) человека. Обсуждение этнического происхождения
кандидата в качестве мотива для голосования "за" или "против" него бы-
ло (и, надеюсь, останется) невозможным в Российской академии наук: да-
же в самые мрачные годы наши антисемиты должны были придумывать "науч-
ные" доводы. Члены Французской академии наук возражали против избрания
кандидата на том основании, что он "француз только по паспорту".
Участвуя во многих международных комитетах, отбирающих приглашенных
докладчиков на конгрессы и конференции или профессоров и заведующих
кафедрами в университетах, я привык, что мои западные коллеги постоян-
но пользуются ненаучными аргументами для исключения из конкурса рос-
сийских кандидатов (мотивируя это тем, что иначе русским досталось бы
слишком много мест). На Международном математическом конгрессе в Киото
в 1990 г. было четыре российских приглашенных докладчика, в Цюрихе в
1994 г. - три. В 1998 г. в Берлине не было ни одного пленарного докла-
да, сделанного российским математиком (в этих подсчетах я не обращаю
внимание на сегодняшнее место работы математика, считая, скажем, Ю.И.
Манина и М.Л. Концевича россиянами). Не думаю, чтобы научный вес нашей
математической школы мог упасть так быстро. Я объясняю результат диск-
риминацией того же рода, что я наблюдал в различных комитетах, в кото-
рых состою.
Недавно я направил в "Заметки Американского математического общества"
письмо "Является ли дискриминация российских математиков политически
корректной?". Редакция удалила опасное заглавие вместе с моей теорией,
объясняющей дискриминацию первооткрывателей, воспроизведенной ниже:
"...имеется социологическая причина, по которой американское общество
всегда поддерживает, скорее, рекламно-деловую активность, чем изобре-
тения: обществу нужнее способствовать быстрому распространению идей,
чем их созданию. Типична здесь история создания телефона (скорее все-
го, неизвестная читателю). Верховный суд США признал, что Белл исполь-
зовал изобретение А. Меуччи, но только тогда, когда его приоритет уже
не мог более иметь для изобретателя какого-либо практического значе-
ния". Исключение дискриминации "незападных" ученых на правительствен-
ном уровне, вероятно, выходит за рамки возможностей математического
сообщества. Однако стараться сделать националистические аргументы мо-
рально неприемлемыми во всех процедурах отбора математиков кажется мне
разумной задачей.
P.S. Последние годы я замечаю некоторые признаки улучшения. Во время
моей первой семестровой поездки во Францию я тратил больше времени на
стояние в очередях в префектуре полиции, чем на чтение всех трех моих
курсов лекций в Университете Париж-Дофин и в Высшей нормальной школе.
Последний год я уже избавлен от необходимости испрашивать разрешение
префектуры на каждое пересечение французской границы. Более того, я
могу теперь свободно передвигаться почти что в пределах всего Третьего
рейха.

http://frolencia.nm.ru/Students/ARNOLD.TXT

Сообщения в ветке


Ответ на сообщение
Ваше имя:
Пароль:
Ваш e-mail:
Тема:
Текст сообщения:
  
Посылать уведомление об ответе:    

[Индекс] [Посмотреть ветку] [Настройки] [DVDSpecial.ru]